第一題
\(\displaystyle S_n=\frac{1}{1+a_1}+\frac{1}{1+a_2}+ \cdots +\frac{1}{1+a_n} \)
\(\displaystyle =(1-\frac{a_1}{1+a_1})+(1-\frac{a_2}{1+a_2})+ \cdots +(1-\frac{a_n}{1+a_n}) \)
\(\displaystyle =n-(\frac{a_1}{1+a_1}+\frac{a_2}{1+a_2}+ \cdots +\frac{a_n}{1+a_n}) \)

所以相當於證明
\(\displaystyle 0<\frac{a_1}{1+a_1}+\frac{a_2}{1+a_2}+ \cdots +\frac{a_n}{1+a_n}<1 \)

\(\displaystyle a_n-a_{n+1}=a_n-\frac{a_n^2}{1+a_n}=\frac{a_n}{1+a_n} \)

所以
\(\displaystyle \frac{a_1}{1+a_1}+\frac{a_2}{1+a_2}+ \cdots +\frac{a_n}{1+a_n}=(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+ \cdots +(a_n-a_{n+1})=1-a_{n+1} \)

顯然 \( a_{n+1}>0 \)
又 \( a_2=\frac{1}{2}<1 \) ， 且 \(\displaystyle a_{n+1}=a_n \times \frac{a_n}{1+a_n}<a_n \)
所以 \( a_n<1 \) 當 \( n>1 \)
故得證

我是列出前面4項看出來的，
第二題還沒想法，
第三題，這答案應該是9的倍數才對吧，可以先檢查你的答案嗎??

啊，我沒有想仔細，不一定要最後一次最大。
還要再思考。

解題是一種樂趣，不管有沒有解出來；只是今年解得題目太多了，就像好吃的東西一直吃，對我來說也是會膩的，所以才會去尋找重新出發的動力。
(以上題外話)

第四題
假設  \(\displaystyle [ \frac{x}{m} ]=[ \frac{x}{m-1} ]=n \)
那麼就有 \(\displaystyle n \le \frac{x}{m} < n+1 \) 以及 \(\displaystyle n \le \frac{x}{m-1} < n+1 \)
進一步 \(\displaystyle mn \le x <m(n+1) \) 以及 \(\displaystyle n(m-1) \le x <(m-1)n+(m-1) \)
以上兩個式子都須滿足，所以必須找尋適當的 \( n \) 使得 \(\displaystyle mn \le x <(m-1)n+(m-1) \) 有解。
亦即要滿足條件 \(\displaystyle mn < (m-1)n+(m-1), \Longrightarrow n < m-1 \)
因為要正整數解，所以知道 \(\displaystyle n=0,1,2, \cdots m-2 \)
此時 \(\displaystyle x=mn,mn+1,mn+2, \cdots mn-n+(m-1)-1 \)
對於 \( n=0 \) ，因為要正整數解，所以 \( x \) 的解會少一個，有 \( m-2 \) 個
對於其他的 \( n \) ，則無此限制，\( x \) 的解有 \( (m-1)-n \) 個，
所以共有
\(\displaystyle (m-2)+(m-2)+(m-3)+ \cdots +1=(m-1)+(m-2)+(m-3)+ \cdots +2=\frac{(m+1)(m-2)}{2}=\frac{m^2-m-2}{2} \)