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請教ARML四題
皮皮
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發表於 2012-6-13 21:59
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請教ARML四題
題目在附件中,這四題想破腦袋都想不出來
希望版上的前輩們能給小弟指點一下迷津,謝謝
PS.因為是抄在筆記本上的,所以沒有年份,請見諒
1.
設數列\( <a_n> \)定義如下:\( a_0=1 \),\( \displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n^2}{1+a_n} \)(\( n=0,1,2,\ldots \)),令\( \displaystyle S_n=\frac{1}{1+a_1}+\frac{1}{1+a_2}+\ldots+\frac{1}{1+a_n} \),試證:\( n-1<S_n<n \)。
2.
滿足\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}\frac{5^k C_k^n}{k}\ge 6^{2003} \)的最小正整數\( n= \)?
ANS:2007
3.
令\( S(n) \)表示正整數\( n \)減去\( n \)的每一個數字和,例如:\( S(123)=123-(1+2+3)=117 \),並定義\( S^1(n)=S(n) \),\( S^{k+1}(n)=S(S^{k}(n)) \),則使得\( S^{2002}(n)=0 \)的最大整數\( n \)為?
ANS:34689
4.
設\( m \)為固定的整數且\( m>2 \),試求:滿足方程式\( \displaystyle \left[ \frac{x}{m} \right]=\left[ \frac{x}{m-1} \right] \)正整數解的個數
ANS:\( \displaystyle \frac{m^2-m-2}{2} \)
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發表於 2012-6-15 20:28
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非常感謝,我思考的點完全錯了,難怪想都想不出來
一開始是想用裂項相消,試了一堆方法湊不出來
後來想說用數學歸納法,有感覺,但是就是不大對盡
老王老師這雖然也是屬於裂項相消的方法,不過我還真的沒想到這
受教了
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發表於 2012-6-15 20:59
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說來慚愧,第二題,第三題我幾乎沒有什麼頭緒
列出許多項,但仍然看不出其規律
但您一說9的倍數,我想我應該有了頭緒了
是利用3的倍數和9的倍數和亦為3的倍數和9的倍數的性質
容我再試著做做看
另外,答案方面是34689無誤
剛剛翻了一下,這是2002年ARML第二階段的第8題
官方答案確實如此
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本帖最後由 皮皮 於 2012-6-15 09:08 PM 編輯
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發表於 2012-6-15 22:12
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拿答案34689來說
第一次的數和 =30
往後依序列下去是30,27,18,18,27,27,18,18,18,27,18,18,18,18,27,18,18,18,18,18,18,18,18,18,9,18,18,18,18,18,9,18,
27,27,18,18,27,27,18,...
好像沒有規律可言,不過也不排除其中可能有算錯
只知道27,9出現很少次,18出現很多次這個事實而已
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發表於 2012-6-15 22:15
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老王老師,辛苦您了
先放著吧! 休息要緊,剛剛解題解太久我也都怪怪的
有時候放鬆一下搞不好就靈光一閃想出來了
您肯解這道題目我已經很感激了,我也先去休息了
[
本帖最後由 皮皮 於 2012-6-15 10:17 PM 編輯
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