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101明倫高中

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填充 6. 從 (2) (3) 的小題的題意,可以大膽猜測是玩遞迴

(3) 現在有 n 個人,如果第一次某人自我結圈,則剩下 n-1 個人,變成 n-1 的情況

如果第一次某兩人握手,則把此兩人看作一人,當作 n-1 個人,變成 n-1 的情況

承 (2) 得 \( E_n = \frac{1}{2n-1}(E_{n-1}+1) + \frac{2n-2}{2n-1}E_{n-1} \)

移項得 \( E_n - E_{n-1} = \frac{1}{2n-1} \)

(4) 承 (1)(3) 即可得


另外 12 題可以參考 99 華江高中填充 3 瑋岳老師的解題 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1010&page=1#pid2465

得到 \( b^2 = 3ac \) 可將原式配成立方 \( f(x) = a(x+\frac{b}{3a})^3 + d' \)

但 \( d' \) 不一定是 0, 這裡是題目的瑕疪

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-14 11:17 PM 編輯 ]
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9 (2)

\( A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{2}{5} & \frac{1}{5}\\
\frac{1}{5} & \frac{-2}{5}
\end{bmatrix} \),特徵值 \( \lambda = =\pm\frac{\sqrt{5}}{5} \),對應之特徵向量為 \( v_{1}=\begin{bmatrix}2+\sqrt{5}\\
1
\end{bmatrix}
, v_{2}=\begin{bmatrix}2-\sqrt{5}\\
1
\end{bmatrix} \)。

\( \begin{bmatrix}1\\
3
\end{bmatrix} = \frac{3-\sqrt{5}}{2} v_1 + \frac{3+\sqrt{5}}{2} v_2 \)

乘 99 次得到 \( \begin{bmatrix}a_{100}\\
b_{100}
\end{bmatrix}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\cdot5^{50}v_{1}+\frac{3+\sqrt{5}}{2}\cdot5^{50}v_{2}\Rightarrow\begin{bmatrix}a_{1}\\
b_{1}
\end{bmatrix}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\cdot\sqrt{5}v_{1}+\frac{3-\sqrt{5}}{2}\cdot(-\sqrt{5})v_{2} \)

化簡得 \( \frac{3\sqrt{5}-5}{2}\begin{bmatrix}2+\sqrt{5}\\
1
\end{bmatrix}-\frac{3\sqrt{5}+5}{2}\begin{bmatrix}2-\sqrt{5}\\
1
\end{bmatrix}=\frac{3\sqrt{5}}{2}\begin{bmatrix}2\sqrt{5}\\
0
\end{bmatrix}-\frac{5}{2}\begin{bmatrix}4\\
2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}15\\
0
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}10\\
5
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\
-5
\end{bmatrix} \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-7-17 10:21 AM 編輯 ]
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