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101建國中學

回復 7# 老王 的帖子

填充 3.
設隨機變數\(X\)為二項分布\(B(n,p)\),令隨機變數\(Y\)的定義如下:\(Y=\cases{4 若X為偶數\cr 2 若X為奇數}\),求\(Y\)的期望值為   
[解答]
來個暴力解法

\( P(X=k)=C_{k}^{n}p^{k}(1-p)^{n-k} \), for \( 0\leq k\leq n \) 且 k 為整數

\( P(X\, even)=\sum\limits_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}C_{2k}^{n}p^{2k}(1-p)^{n-2k}=(1-p)^{n}\sum \limits _{k=0}^{[\frac{n}{2}]}C_{2k}^{n}(\frac{p}{1-p})^{2k} \).

\( (1+\frac{p}{1-p})^{n}+(1-\frac{p}{1-p})^{n}=2\sum \limits _{k=0}^{[\frac{n}{2}]}C_{2k}^{n}(\frac{p}{1-p})^{2k} \)

\( \Rightarrow P(X\, even)=\frac{(\frac{1}{1-p})^{n}+(\frac{1-2p}{1-p})^{n}}{2}(1-p)^{n}=\frac{1+(1-2p)^{n}}{2} \), and \( P(X\, odd)=\frac{1-(1-2p)^{n}}{2} \)

\( EY=4\cdot P(X\, even)+2\cdot P(X\, odd)=3+(1-2p)^{n} \)

以上暴力,如何錯誤,煩請告知

填充 5. 跳過~~好反應...小弟看到這題的直覺也是跳過

剛剛玩了一下,有得莫名其妙的玩出來了

令 \( c=a-b>0 \), 則 \( a=b+c\geq2\sqrt{bc} \)

所以 \( a^{3}+\frac{6}{b(a-b)}\geq8\sqrt{b^{3}c^{3}}+\frac{6}{bc}=4\sqrt{b^{3}c^{3}}+4\sqrt{b^{3}c^{3}}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{bc}\geq5\cdot\sqrt[5]{128}=10\sqrt[5]{4} \)

以上等號成立條件為 \( b=c=\frac{1}{\sqrt[5]{2}} \)
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