引用:
原帖由 Fermat 於 2012-6-13 03:57 PM 發表 
公告少了計算證明第二題
計算2
設\(n\)為大於1的正整數，數列\(\langle\;a_j\rangle\;\)>滿足\(\displaystyle \frac{1}{2}<a_j<1(j=1,2,\ldots,n)\)，試證明：對於任何大於1的正整數\(n\)，\(\displaystyle (1-a_1)(1-a_2)\ldots(1-a_n)>1-(a_1+\frac{a_2}{2}+\ldots+\frac{a_n}{2^{n-1}})\)
[解答]
用數學歸納法
(1)當n=2時
(1-a1)(1-a2)=1-a1-a2+a2*a1>1-a1-a2+a2*(1/2)=1-(a1+a2/2)成立
(2)假設n=k時
(1-a1)*(1-a2)*...............*(1-ak)>1-{ a1+a2/ 2+................+ak / 2^(k-1) }成立
則當n=k+1時
(1-a1)*(1-a2)*...............*(1-ak)*
[1-a_(k+1)]
>{1-[a1+a2 /2+................+ak /2^(k-1)]}
*[1-a_(k+1)]
=1-[a1+a2 /2+................+ak /2^(k-1)]
-a_(k+1) +
[a1+(1/2)*a2* +............+(1/2^(k-1))*ak] *a_(k+1)
紅色部分 >[(1/2)+(1/2)^2+................+(1/2)^k]*a_(k+1)
=[1-(1/2)^k ]*a_(k+1)
=a_(k+1) - (1/2)^k*a_(k+1)
綠色部分+紅色部分= - (1/2)^k*a_(k+1)
此時不等式右式為1-[a1+a2 /2+................+ak /2^(k-1)+ a_(k+1) / 2^k ]
故由數學歸納法可得證~~
