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101建國中學

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原帖由 Fermat 於 2012-6-13 03:57 PM 發表
公告少了計算證明第二題
計算2
用數學歸納法
(1)當n=2時
    (1-a1)(1-a2)=1-a1-a2+a2*a1>1-a1-a2+a2*(1/2)=1-(a1+a2/2)成立
(2)假設n=k時
   (1-a1)*(1-a2)*...............*(1-ak)>1-{ a1+a2/ 2+................+ak / 2^(k-1) }成立
    則當n=k+1時
    (1-a1)*(1-a2)*...............*(1-ak)* [1-a_(k+1)]
     >{1-[a1+a2 /2+................+ak /2^(k-1)]} *[1-a_(k+1)]
     =1-[a1+a2 /2+................+ak /2^(k-1)] -a_(k+1) + [a1+(1/2)*a2* +............+(1/2^(k-1))*ak] *a_(k+1)

    紅色部分 >[(1/2)+(1/2)^2+................+(1/2)^k]*a_(k+1)
                  =[1-(1/2)^k ]*a_(k+1)
                  =a_(k+1) - (1/2)^k*a_(k+1)

    綠色部分+紅色部分= - (1/2)^k*a_(k+1)

    此時不等式右式為1-[a1+a2 /2+................+ak  /2^(k-1)+  a_(k+1) / 2^k  ]
    故由數學歸納法可得證~~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-6-14 12:14 AM 編輯 ]

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