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填充第 4 題:
四邊形\(ABCD\)為正方形,\(\overline{PD}⊥\)平面\(ABCD\),\(\overline{PD}\)//\(\overline{QA}\),\(\overline{QA}=\overline{AB}=\frac{1}{2}\overline{PD}\),求\(\Delta QPB\)與\(\Delta CPB\)所夾二面角的餘弦值為 。
[解答]
(可以參考題目卷所附的圖)
從 \(Q\) 往 \(\overline{DP}\) 做垂線,設垂足為 \(R\),
因為 \(\overline{PR}\perp\mbox{平面}ABCD\) 且 \(\overline{CD}\perp\overline{BC}\),由三垂線定理,可得 \(\overline{CP}\perp\overline{BC}\) 於 \(C\)
同理可得 \(\overline{CR}\perp\overline{BC}\) 於 \(C\)
因此所求=\(\cos\angle RCP\)
因為 \(\tan\angle RCP=\frac{2-1}{1+2\times1}=\frac{1}{3}\)
所以,所求=\(\cos\angle RCP=\frac{3}{\sqrt{10}}\)