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101屏東女中

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想請教第10題

有3個變數 沒有頭緒
敬請賜教  謝謝

10.
若\( P、A、B \)分別為橢圓\( \Gamma \):\( \displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 \)、圓\( C_1 \):\( (x-3)^2+y^2=1 \)、圓\( C_2 \):\( (x+3)^2+y^2=2 \)上的任一點,則\( \overline{PA}+\overline{PB} \)的最小值為何?

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回復 11# WAYNE10000 的帖子

填充 10. 提示:在於兩個圓心剛好是橢圓的焦點

所以要巧妙的利用橢圓的定義及三角不等式即可
網頁方程式編輯 imatheq

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請問第12題

我看了之後有個問題請問:\( a=-cos x+\sqrt{1-cos x} \)可推出\( 1\le a \le 1+\sqrt{2} \)  這是如何算出來的???
我用我的方式算~算出\( \displaystyle -\frac{5}{4} \le a \le 1-sqrt{2} \) ,可以請各位幫我看看!我哪裡出了問題嗎?

\( sin^2 x-(2a+1)cosx-a^2=0 \)
\( 1-cos^2 x-(2a+1)cosx-a^2=0 \)
\( cos^2 x+(2a+1)cos x+(a^2-1)=0 \)

令\( t=cos x \),\( t^2+(2a+1)t+(a^2-1)=0 \),\( t \in R \),\( -1\le t \le 1 \)
1.
\( D\ge 0 \),\( \displaystyle (2a+1)^2-4(a^2-1)\ge 0 \Rightarrow a\ge -\frac{5}{4} \)
2.
令\( f(t)=t^2+(2a+1)t+(a^2-1) \)

(1)\( f(1)\ge 0 \Rightarrow a^2+2a+1 \ge 0 \Rightarrow a \in R \)
(2)\( f(-1)\ge 0 \Rightarrow a^2-2a-1 \ge 0 \Rightarrow a\ge 1+\sqrt{2} \)或\( a \le 1-\sqrt{2} \)
(3)\( \displaystyle -1<\frac{-2a-1}{2}<1 \Rightarrow -\frac{3}{2}\le a \le \frac{1}{2} \)

故\( \displaystyle -\frac{5}{4}<a \le 1-\sqrt{2} \)

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請教第8題

煩請高手解惑

8.
設\( a>0 \),\( O(0,0) \)為原點。在拋物線\( ay=a^2-x^2 \)上取一點\( P(s,t) \),\( s>0 \)。過\( P \)點作拋物線之切線交\( x \)軸,\( y \)軸於\( Q、R \)兩點。當\( P \)點變動時,求\( \Delta OQR \)面積的最小值。

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引用:
原帖由 march2001kimo 於 2012-6-15 04:33 PM 發表
煩請高手解惑
\({x^2} =  - a(y - a)\)
令\(P(at,a - a{t^2})\)
\( \displaystyle y' =  - \frac{2}{a}x\),故過P點之切線斜率為\( - 2t\)
此切線方程式為\( \displaystyle \frac{x}{{\displaystyle \frac{{a + a{t^2}}}{{2t}}}} + \frac{y}{{a + a{t^2}}} = 1\)
\( \displaystyle \Delta  = \frac{1}{2}\frac{{a + a{t^2}}}{{2t}}(a + a{t^2}) = \frac{1}{4}\frac{{{{(a + a{t^2})}^2}}}{t}\)
\( \displaystyle \Delta ' = \frac{1}{4}\frac{{2(a + a{t^2}) \cdot 2at \cdot t - (a + a{t^2})2}}{{{t^2}}} = 0\)
解得\( \displaystyle t = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)代入
\( \displaystyle \Delta  = \frac{1}{4}\sqrt 3  \cdot {a^2}{(1 + \frac{1}{3})^2} = \frac{{4\sqrt 3 }}{9}{a^2}\)

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引用:
原帖由 matric0830 於 2012-6-13 09:43 AM 發表
我看了之後有個問題請問:a=-cosx+squr(1-cosx)可推出1
情形有很多,題目只說有解,不代表一定有兩個解,也有可能只有一解
越學越多,越發現自己是多麼渺少...微不足道

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#2
⊿ACF≈⊿AEC [AB=AC=小圓半徑 => AB弧=AC弧 =>∠AFC=∠BCA]


=> AC/AF = AE/AC


=> AB/ 4 = 1/AB


=> AB=2




新手第一次使用
請多指教, 謝謝!!



[ 本帖最後由 阿吉 於 2013-5-12 02:44 AM 編輯 ]

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請問第12題   為何知道要檢查  f(1)和f(-1)這兩個位置呢?

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第 12 題
原方程整理成 a^2 + (2cosx)a + [(cosx)^2 + cosx - 1] = 0
a = -cosx ± √(1 - cosx)
令 t = sin(x/2)
a = 2t^2 - 1 ± (√2)t = 2(t ± √2/4)^2 - 5/4
-5/4 ≦ a ≦ 1 + √2

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12.補充一個拙見
\(\displaystyle f(x)=-x \pm \sqrt{1-x}\)

case 1. if \(\displaystyle f(x)=-x + \sqrt{1-x}  , -1\leq x\leq 1\)
微分畫圖可知圖形嚴格遞減 最大值在\(\displaystyle (-1,1+\sqrt{2})\),最小值在\(\displaystyle (1,-1)\)

case 2. if \(\displaystyle f(x)=-x + \sqrt{1-x}  , -1\leq x\leq 1\)
畫圖可以知道
端點為\(\displaystyle (1,-1),(-1,1-\sqrt{2})\),最小值為\(\displaystyle (\frac{3}{4},-\frac{5}{4})\)

兩者取聯集,可得\(\displaystyle -\frac{5}{4}\leq a \leq 1+\sqrt{2}\)

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