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101全國聯招

計算證明題3.
設n為自然數,試以數學歸納法證明:\( \displaystyle \frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30} \)為一自然數

thepiano給了數學歸納法的解法
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2831
我提供另一種方法
原式\( \displaystyle =\frac{1}{5}(n^5-n)+\frac{1}{3}(n^3-n)+\frac{1}{2}n(n+1)(n^2-n+1) \)
前兩個用費馬小定理得知是正整數,最後一個相鄰的兩整數有2的因數所以也是正整數

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