單選第 5 題：
若\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{(1^2+2^2+\ldots+n^2)(1^5+2^5+\ldots+n^5)}{(1^3+2^3+\ldots+n^3)(1^4+2^4+\ldots+n^4)}=\frac{b}{a}\)(\(a,b\)為整數，且\(\displaystyle \frac{b}{a}\)為一最簡分數)，則\(a+b=\)？
(A)37　(B)29　(C)22　(D)19。
[解答]
來個另解，

所求＝\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle \left(\frac{1}{3}n^3+O(n^2)\right)\left(\frac{1}{6}n^6+O(n^5)\right)}{\displaystyle \left(\frac{1}{4}n^3+O(n^3)\right)\left(\frac{1}{5}n^5+O(n^4)\right)}\)

　　　\(\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{18}n^9+O(n^8)}{\displaystyle \frac{1}{20}n^9+O(n^8)}\)

　　　\(\displaystyle=\frac{20}{18}=\frac{10}{9}\)

填充題第 4 題：
設\(f(x),g(x)\)分別為二次及三次的多項式，且滿足\((1-4x)[f(x)+x(f(x))^2]=1+x^3g(x)\)，則多項式\(f(x)=\)　　　。
[解答]
\(x=0\) 帶入題目所給的條件，可得 \(f(0)=1\)

令 \(f(x)=ax^2+bx+1\) 帶入 \(\left(1-4x\right)\left[f\left(x\right)+x\left(f\left(x\right)\right)^2\right]\)

展開～（不用全寫出來啦～只要找出展開後 \(x\) 的一次與二次項係數就好～）

展開後按升冪排列，可得 \(1+(b-3)x+(a-2b-4)x^2+\cdots=1+x^3 g(x)\)

因此 \(b-3=0\) 且 \(a-2b-4=0\Rightarrow a=10, b=3\)，

故 \(f(x)=10x^2+3x+1.\)

剛剛用 excel 算了一下，照定義算出來的國文標準差為 8.92... ，數學標準差為 7.48...，兩者相關係數為 6.64...

聯招版的答案沒有給錯。

計算第 1 題：
求拋物線\(y=-x^2+3x\)與兩直線\(y=x\)、\(y=2x\)所圍的區域面積=　　　。
[解答]

qq.png (39.16 KB)

2012-6-4 11:49

所求＝紅色區域＋綠色區域＝\(\displaystyle\frac{1}{2}\cdot1\cdot2+\left(\int_1^2\left(-x^2+3x\right)dx-2\cdot1\right)\)

選擇1.
設\(a_i\in\{\;1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}\;\)，\(i=1,2,\ldots,9\)為相異9個整數，若有3個3位數，\(a_1a_2a_3\)，\(a_4a_5a_6\)，\(a_7a_8a_9\)之乘積為最大，其中\(a_1=9\)，問\(a_2a_3\)為下列哪一數？
(A)87　(B)81　(C)63　(D)41
[解答]
題述三個三位數越大越好，

可知 \(a_1,a_4,a_7\in\left\{9,8,7\right\}\)

　　 \(\Rightarrow a_2,a_5,a_8\in\left\{6,5,4\right\}\)

　　 \(\Rightarrow a_3,a_6,a_9\in\left\{3,2,1\right\}\)

此時，可得 \(a_1a_2a_3 + a_4a_5a_6+a_7a_8a_9\) 為定值，

由算幾不等式可推知，當 \(a_1a_2a_3,\, a_4a_5a_6,\, a_7a_8a_9\) 這三個三位數間互相越接近時，此三數的乘積越大，

得此三數為 \(941, 852, 763\) 時，三數乘積為最大。

選擇第6題：
\(n\)為正整數且\(n\le 110\)，則滿足\((sin\theta+i cos\theta)^n=sin n\theta+i cos n\theta\)之所有\(n\)其總和=
(A)1851　(B)1750　(C)1540　(D)2320
[解答]
Key: 要先化成極式，才能用隸美弗定裡喔！

\(\displaystyle\left( \sin \theta +i\cos \theta  \right)^n=\left[ \cos \left( \frac{\pi }{2}-\theta  \right)+i\sin \left( \frac{\pi }{2}-\theta  \right) \right]^n\)

\(\displaystyle=\cos \left( \frac{n\pi }{2}-n\theta  \right)+i\sin \left( \frac{n\pi }{2}-n\theta  \right)\)


且因為 \(\displaystyle\sin n\theta +i\cos n\theta =\cos \left( \frac{\pi }{2}-n\theta  \right)+i\sin \left( \frac{\pi }{2}-n\theta  \right)\)

所以，\(\displaystyle\frac{n\pi }{2}-n\theta \) 與 \(\displaystyle\frac{\pi }{2}-n\theta \) 為同界角，

亦即 \(\displaystyle\frac{n\pi }{2}-n\theta =\frac{\pi }{2}-n\theta +2k\pi \Rightarrow n=4k+1\)（其中 \(k\) 為整數），

因為 \(110=4\times 27+2\)，

所以滿足題意的所有 \(n\) 之和＝\(\displaystyle 1+5+9+\cdots +\left( 4\times 27+1 \right)=\frac{28\left( 2\times 1+27\times 4 \right)}{2}=1540\)

選擇第8題：
若\(\displaystyle \frac{1}{1}+\frac{1}{1+(1+2)}+\frac{1}{1+(1+2)+(1+2+3)}+\frac{1}{1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)}\)
\(\displaystyle +\ldots+\frac{1}{1+(1+2)+(1+2+3)+\ldots+(1+2+3+4+5+\ldots+18+19+20)}=\frac{b}{a}\)(\(a,b\)為整數，且\(\displaystyle \frac{b}{a}\)為一最簡分數)，則下列哪些選項為真？
(A)\(a\)為7之倍數　(B)\(b>120\)　(C)\(a<b\)　(D)\(a+b>199\)
[解答]
Key: 利用 sigma 處理分母，然後再分項對消！

所求＝\(\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{20}{\frac{1}{\sum\limits_{t=1}^{k}{\left( \sum\limits_{i=1}^t i\right)}}}=\sum\limits_{k=1}^{20}{\frac{1}{\sum\limits_{t=1}^{k}{\frac{t\left( t+1 \right)}{2}}}}=\sum\limits_{k=1}^{20}{\frac{2}{\sum\limits_{t=1}^{k}{{{t}^{2}}}+\sum\limits_{t=1}^{k}{t}}}\)

　　　\(\displaystyle =\sum\limits_{k=1}^{20}{\frac{2}{\frac{k\left( k+1 \right)\left( 2k+1 \right)}{6}+\frac{k\left( k+1 \right)}{2}}}=\sum\limits_{k=1}^{20}{\frac{6}{k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}}\)

　　　\(\displaystyle =3\sum\limits_{k=1}^{20}{\left[ \frac{1}{k\left( k+1 \right)}-\frac{1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)} \right]}=3\left[ \frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{21\cdot 22} \right]\)

　　　\(\displaystyle =\frac{115}{77}\)

選擇第 9 題： thepiano 老師有解了 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2831#p7696

不要選太極端的點，帶入回歸直線之後，等號左右兩邊就不會差很多。

然後就可以求出相關係數的近似值，真是有創意的方法。：Ｄ

選擇7.
設\(y=f(x)\)為三次函數，若\((101,2012)\)、\((103,2016)\)、\((104,2009)\)、\((105,2020)\)在函數圖形上，則\(f(102)=\)
(A)2013　(B)2023　(C)2033　(D)2043
[解答]
有朋友問的選擇第 7 題，

稍微偷懶一下~

令 f(102)=2000+a

（三次）　2012,　2000+a, 2016,　 2009,　 2020
　　　　　　＼　／　＼　／　＼　／　＼　／
（二次）　　 a-12　　16-a　　 -7　　　11
　　　　　　　　＼　／　＼　／　＼　／　
（一次）　　 　　28-2a　　a-23　　18
　　　　　　　　　　＼　／　＼　／
（常數）　　　 　　　3a-51　　41-a
　　　　　　　　　　　　＼　／
（零多項式）　　　　　　　92-4a

92-4a=0 → a=23

因此 f(102)=2023