填充 6. 接續你的作法
\( \angle F'FP + \angle F'FQ = 180^\circ \), 所以其餘弦和為 \( 0 \)
\(\displaystyle \frac{4c^{2}+25-49}{20c}+\frac{4c^{2}+9-81}{12c}=0 \), 解得 \(\displaystyle c^2 = \frac{27}{2} \)
因此正焦弦長 \(\displaystyle =\frac{2b^{2}}{a}=\frac{2}{6}\cdot(36-\frac{27}{2})=\frac{15}{2} \)
另解. 考慮 F 兩邊的準線 L, 離心率 \(\displaystyle e = \frac{a}{c} \)
則有 \(\displaystyle d(F,L)=\frac{2}{\frac{1}{d(P,L)}+\frac{1}{d(Q,L)}} \) 和 \( d(P,L) = 3e,\, d(Q,L)=5e,\, d(F,L)=ea-c \)
將上行以 \( a=6 \) 和 \( c \) 代入得方程式 \(\displaystyle \frac{36}{c}-c=\frac{6}{c}\cdot\frac{30}{8} \)
解得 \(\displaystyle c^2 = \frac{27}{2} \)
註：調和平均之性質可見於 100 中壢高中二招
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