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101竹北高中

回復 14# redik 的帖子

填充第 4 題:

將 \(A\) 對稱 \(\overline{BC}\) 得 \(A'\);將 \(B\) 對稱 \(\overline{AC}\) 得 \(B'\),則 \(\overline{A'B'}\) 長度即為所求。

ps. 可以坐標化,也可以找出 \(\overline{AA'}\) 與 \(\overline{AB'}\) 線段長與 \(\angle A'AB'\) 的餘弦值,

  然後用餘弦定理求得 \(\overline{A'B'}\) 的長度  。

多喝水。

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回復 16# agan325 的帖子

填充第 5 題相關題目與資料~

利用本站右上角的 Google 自訂搜尋框~

搜尋「三條平行線 正三角形」就可以找到了~:)

https://math.pro/db/thread-890-1-1.html






填充第 5 題:

   

如上圖,設 \(\overline{BD}=d_1, \overline{CF}=d_2\)(不失一般性,假設 \(d_1\geq d_2\))

設正三角形 \(\triangle ABC\) 的邊長為 \(x\),

則由畢氏定理,可得

\(\overline{AD}=\sqrt{x^2-d_1^2}, \overline{AF}=\sqrt{x^2-d_2^2}, \overline{DF}=\sqrt{x^2-\left(d_1+d_2\right)^2}\)

因為 \(\overline{AD}+\overline{DF}=\overline{AF}\)

所以 \(\sqrt{x^2-d_1^2}+\sqrt{x^2-\left(d_1+d_2\right)^2}=\sqrt{x^2-d_2^2}\)

移項平方化簡(做兩次),即可得 \(\displaystyle x^2=\frac{4}{3}\left(d_1^2+d_1d_2+d_2^2\right)\)

\(\displaystyle\Rightarrow x=\frac{2\sqrt{d_1^2+d_1d_2+d_2^2}}{\sqrt{3}}\)

多喝水。

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回復 16# agan325 的帖子

填充第 3 題:

令 \(f(x)=x^3-3x^2+2x-1\),則

\(f\,'(x)=3x^2-6x+2\)

設切點為 \((x_0,y_0)\)

則 \(\displaystyle 3x_0^2-6x_0+2=\frac{y_0-a}{x_0-0}\) 且 \(y_0=x_0^3-3x_0^2+2x_0-1\)

\(\Rightarrow y_0=3x_0^3-6x_0^2+2x_0+a\) 且 \(y_0=x_0^3-3x_0^2+2x_0-1\)

\(\Rightarrow 3x_0^3-6x_0^2+2x_0+a=x_0^3-3x_0^2+2x_0-1\)

\(\Rightarrow 2x_0^3-3x_0^2+a+1=0\)

令 \(g(x)=2x^3-3x^2+a+1\)

因為過 \(P\) 往 \(y=f(x)\) 做切線時,恰有三條相異的切線,即有三個相異的切點,

所以 \(g(x)=0\) 恰有三相異實根,

\(g\,'(x)=6x^2-6x\)

\(g\,'(x)=0\Rightarrow x=0\) 或 \(x=1\)

因為 \(g(x)=0\) 恰有三相異實根,所以 \(g(0)g(1)<0\Leftrightarrow -1<a<0\)



類題:

101中科實中填充第 3 題:https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1318&page=5#pid5091

99台中二中填充第 5 題: https://math.pro/db/thread-934-1-1.html

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回復 24# peter579 的帖子

填充第 4 題在本討論串已經解過了。

填充第 4 題 → https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1381&page=2#pid6001

多喝水。

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引用:
原帖由 natureling 於 2012-11-16 10:28 PM 發表
@@..可以細問一下第4題...為何是A'B"的距離嗎??...轉不過來>"<
設質點由 \(A\) 射出後,打到 \(\overline{BC}\) 上的點 \(P\),

經反射後又打到 \(\overline{AC}\) 上的點 \(Q\),經反射後~回到 \(B\) 點。

則 \(\overline{AP}+\overline{PQ}+\overline{QB}=\overline{A'P}+\overline{PQ}+\overline{QB'}\geq\overline{A'B'}\)

(Think: 由 \(A'\) 到 \(B'\) ,此兩點之間的最短距離為 \(\overline{A'B'}。\))

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回復 27# WAYNE10000 的帖子

填充第 1 題,可以參考

101 大安高工第 3 題: https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1468&page=2#pid7159

100香山高中第 12 題: https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1186&page=4#pid4692

或是參考《空間中球與圓的最短距離》 https://math.pro/db/thread-665-1-1.html

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