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101 竹北高中

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引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-5-31 12:40 AM 發表


您這樣算共用邊都重複算
沒扣那麼多啦~

您看到題目的意思是說每一條直線都要通過中心點嗎?
還是任兩點的連線?
我懂意思了,應該我算錯了,扣掉太多,共用邊的部分,重覆扣除了

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引用:
原帖由 shingjay176 於 2012-5-31 06:30 AM 發表

我懂意思了,應該我算錯了,扣掉太多,共用邊的部分,重覆扣除了
假設正方體的中心為O,每個面的中心為A,B,C,D,E,F
先算C(27,2)
只有通過上述的中心點,直線才會重複算到
以下分兩種情況討論重複情形
(1)直線通過O點:
其它點有26個,這樣的直線有26/2=13條
(2)直線在正方體的面上:
通過每面的中心如A(或B或C或D或E或F)
的直線共有4*6=24(米字型)
再加上正方體有12個邊
所有共有24+12=36條

由(1)&(2)的重複的直線共有13+36=49條要扣~


所求=C(27,2)-49*C(3,2)+49=351-108+49=253


上述有漏掉的地方請指正

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-31 07:56 PM 編輯 ]

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引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-5-31 09:34 AM 發表

假設正方體的中心為O,每個面的中心為A,B,C,D,E,F
先算C(27,2)
只有通過上述的中心點,直線才會重複算到
以下分兩種情況討論重複情形
(1)直線通過O點:
其它點有26個,這樣的直線有26/2=13條
(2)直線在正方體的面上:
通 ...
剛剛自己又在畫了一下圖,才發現自己考場扣掉太多了。
考場上有想法了,真的需要嚴謹點,不然時間花下去,想法也對,分數沒拿到,超嘔的

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想要請教一題

填充4,三角形ABC三邊長 AB=3,AC=4,BC=5,一質點由A出發,射向BC上一點(不包含端點)

若此質點接過兩次反射時到達B點,則A點經過的路徑長為?

一開始我先設座標系,A(0,0),B(3,0),C(0,4),假設A反射至AC邊上的點為(0,t)

然後用反射回推方程式,可是算起來很不好算,不知道有沒有比較好的想法...

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回復 14# redik 的帖子

填充第 4 題:

將 \(A\) 對稱 \(\overline{BC}\) 得 \(A'\);將 \(B\) 對稱 \(\overline{AC}\) 得 \(B'\),則 \(\overline{A'B'}\) 長度即為所求。

ps. 可以坐標化,也可以找出 \(\overline{AA'}\) 與 \(\overline{AB'}\) 線段長與 \(\angle A'AB'\) 的餘弦值,

  然後用餘弦定理求得 \(\overline{A'B'}\) 的長度  。

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想要請教填充3和填充5

有關於填充5....好像有看過相關科展和考古題
但是一時資料太多,找不到!
能否請教相關考古題和填充5的做法!多謝!

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回復 16# agan325 的帖子

填充第 5 題相關題目與資料~

利用本站右上角的 Google 自訂搜尋框~

搜尋「三條平行線 正三角形」就可以找到了~:)

https://math.pro/db/thread-890-1-1.html






填充第 5 題:

   

如上圖,設 \(\overline{BD}=d_1, \overline{CF}=d_2\)(不失一般性,假設 \(d_1\geq d_2\))

設正三角形 \(\triangle ABC\) 的邊長為 \(x\),

則由畢氏定理,可得

\(\overline{AD}=\sqrt{x^2-d_1^2}, \overline{AF}=\sqrt{x^2-d_2^2}, \overline{DF}=\sqrt{x^2-\left(d_1+d_2\right)^2}\)

因為 \(\overline{AD}+\overline{DF}=\overline{AF}\)

所以 \(\sqrt{x^2-d_1^2}+\sqrt{x^2-\left(d_1+d_2\right)^2}=\sqrt{x^2-d_2^2}\)

移項平方化簡(做兩次),即可得 \(\displaystyle x^2=\frac{4}{3}\left(d_1^2+d_1d_2+d_2^2\right)\)

\(\displaystyle\Rightarrow x=\frac{2\sqrt{d_1^2+d_1d_2+d_2^2}}{\sqrt{3}}\)

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回復 16# agan325 的帖子

填充第 3 題:

令 \(f(x)=x^3-3x^2+2x-1\),則

\(f\,'(x)=3x^2-6x+2\)

設切點為 \((x_0,y_0)\)

則 \(\displaystyle 3x_0^2-6x_0+2=\frac{y_0-a}{x_0-0}\) 且 \(y_0=x_0^3-3x_0^2+2x_0-1\)

\(\Rightarrow y_0=3x_0^3-6x_0^2+2x_0+a\) 且 \(y_0=x_0^3-3x_0^2+2x_0-1\)

\(\Rightarrow 3x_0^3-6x_0^2+2x_0+a=x_0^3-3x_0^2+2x_0-1\)

\(\Rightarrow 2x_0^3-3x_0^2+a+1=0\)

令 \(g(x)=2x^3-3x^2+a+1\)

因為過 \(P\) 往 \(y=f(x)\) 做切線時,恰有三條相異的切線,即有三個相異的切點,

所以 \(g(x)=0\) 恰有三相異實根,

\(g\,'(x)=6x^2-6x\)

\(g\,'(x)=0\Rightarrow x=0\) 或 \(x=1\)

因為 \(g(x)=0\) 恰有三相異實根,所以 \(g(0)g(1)<0\Leftrightarrow -1<a<0\)



類題:

101中科實中填充第 3 題:https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1318&page=5#pid5091

99台中二中填充第 5 題: https://math.pro/db/thread-934-1-1.html

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引用:
原帖由 weiye 於 2012-6-2 06:30 PM 發表
填充第 4 題:

將 \(A\) 對稱 \(\overline{BC}\) 得 \(A'\);將 \(B\) 對稱 \(\overline{AC}\) 得 \(B'\),則 \(\overline{A'B'}\) 長度即為所求。

ps. 可以坐標化,也可以找出 \(\overline{AA'}\) 與 \(\overline{AB'}\)  ...
感謝瑋岳老師

總覺得這種反射題目都用對稱找答案,但是往往考試時都沒想到 orz

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回復 18# weiye 的帖子

多謝偉岳老師
讓我豁然開朗....尤其是第五題,自己玩了好久
都好想要哭泣阿.....

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