填充第7題
函數\(f(x)=3(2^x)+5(2^{-x})+7\)圖形的對稱軸方程式為　　　。
[解答]
剛剛小弟試了一下
利用微分判別圖形的走勢，
先求出f'(x)=(ln2)*(3*2^(2x)-5)   這裡 ln 是自然對數
解出 當 x=(1/2) (log_2)(5/3) 時 (抱歉這裡很難看，就是以2為底...)
f'(x)=0, 所以當 x>(1/2) (log_2)(5/3) 時 圖形遞增，另一邊則遞減
所以f的圖形的走勢跟拋物線是很類似的，故得到
對稱軸即為 x=(1/2) (log_2)(5/3)

填充第4題：
4.
設\(a\)為實數，若函數\(y=log_a(-x^2+log_{2a}x)\)在\(\displaystyle 0<x<\frac{1}{2}\)均為實數，則\(a\)的範圍為　　　。
[解答]
令f(x)=-x^2 +(log_2a) (x) , 定義域限定在x>0
由題意知欲求 f(x) 在 (0, 1/2) 滿足f(x)>0 之a 的範圍
討論：
case(1)：如果2a>1, 觀察 x-->(0^+) 時 f(x)--> 負無限大
               由函數的連續性知存在一個開區間(0,b)使得 f(x) 的值恆小於0，無解
case(2)：如果2a<1, 先算出 f'(x)=(-2x)+ (1/ x* ln(2a) ) , 得到  x>0時 , f'(x)<0
               知 f 在 x>0 時為一嚴格遞減函數
               故只要 滿足 f(1/2) 大於等於0, 即可滿足所求
               解 f(1/2) 大於等於0, 得到 1/32 小於等於 a < 1/2
               即為所求。

5.
求積分\(\displaystyle \int_{4}^{+\infty}\frac{dx}{(x-2)^4\sqrt{x^2-4x+3}}=\)　　　。
[解答]

101 桃園農工填充第5題.jpg (54.15 KB)

2012-5-30 16:26

最後那一行其實就是在令一次變數變換 u=sin

你這方法還真令小弟開了眼界，
誠如你所說，也是有那麼一點預知的感覺，
老實說我對這些函數也是沒多大感覺....所以我是用微分看整個圖形的趨勢，大概抓水平切線的位置
若函數圖形有非鉛直的對稱軸，（這裡假設定義域是 R）
那麼是否只有方程式圖形才有辦法達到這個需求？（函數的話可能作鉛直線會有兩個交點？）
我想嘗試找反例，像 y=1/x 就有 y=x 為對稱軸，可是他的定義域要扣掉0
還是說有鉛直漸近線的函數才"有可能"產生非鉛直線的對稱軸？
是蠻值得討論看看......

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-5-30 06:42 PM 發表
來個無聊例子， \( y=mx \) 的圖形是直線，所以任何一條垂線都是它的對稱軸

另外，如果考慮 \( y=x \) 是對稱的話，對稱的函數圖形，即為反函數

因為若 \( f (x) \) 之圖形以 \( y=x \) 為對稱軸 \( f(x) = f^{-1}(x) \) 則  ...

y=mx  很棒的例子阿～非常不無聊 XD, 非常好的反例
f(x) 函數跟反函數 f^(-1)(x) 是對稱於y=x, 但是有沒有另一個函數g(x)
圖形會同時包含 f 跟 f^(-1) 的圖形，如果有的話，是否這樣才能說 y=x 為g(x)圖形的對稱軸
若考慮 f(x) 跟 f^(-1)(x) 兩個合成，這樣可以構成函數的機會是否很小？
像是y=10^x 跟 y=log(x) 兩個合成 會對稱 y=x , 但是找不到一個"函數"使得圖形為前面的合成（會有一對多的情況發生）
所以若將 y=1/x 的右上截彎取直跟 x+y=c 合成，這樣的對稱軸為 y=x
但是是否能找到一個函數使得圖形為前面的兩個圖形合成，是否此時函數不會 well-defined
這樣的話是否通常能滿足這樣的圖形是一個方程式，例如像 圓 x^2+y^2=1
若勉強要用一個函數達到的話，我好像只想到 y=1/x, 勉強可以，
但是你直線的例子就是非常好的反例，
當然也可能整篇都是我鬼打牆會錯意XD，也煩請多指教。

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-5-30 08:28 PM 發表
我想我和你一樣也在鬼打牆， \( y = c - x \) 不就又是另一個超好的例子了

實際上只要找個偶函數，把它對原點順時針轉個 45 度，出來的圖形就會對於稱於 \( x= y \)

接著我們需要一些假設，來保證轉出的圖形，是某個函數的圖 ...

的確，重點在於這樣構造的話，要達到需求的函數不勝枚舉,  

這篇實在是太精彩了!不拜不行XD~小弟之前的想法就膚淺許多，

這篇學了不少東西，討論數學實在是一件非常好的事情，感謝指教!!