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101桃園農工

回復 10# gamaisme 的帖子

填充 6.
在\(\Delta ABC\)中,\(\overline{AB}=4\),\(\overline{AC}=6\)。若\(E\)為\(\Delta ABC\)的外心,則向量內積\(\vec{AE}\cdot \vec{BC}\)的值為   
[解答]
令 \( \vec{u}=\vec{AB} \), \( \vec{v}=\vec{AC},  \vec{AE}=x\vec{u}+y\vec{v},  \vec{BC}=\vec{v}-\vec{u} \)

由外心(中垂線)可得 \( (x\vec{u}+y\vec{v})\cdot\vec{u}=\frac{1}{2}|\vec{u}|^{2} \) 和 \( (x\vec{u}+y\vec{v})\cdot\vec{v}=\frac{1}{2}|\vec{v}|^{2} \)

兩式相減,即為所求,得 \( \frac{1}{2}(6^{2}-4^{2})=10\)
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回復 12# 阿光 的帖子

其實是一樣的式子

是小弟糊塗了...在那賣弄符號,進去死胡同了~呵~~
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回復 15# Ellipse 的帖子

填充 7.
函數\(f(x)=3(2^x)+5(2^{-x})+7\)圖形的對稱軸方程式為   
[解答]
觀看兩位老師的作法,都好像是預知對稱軸必為鉛直線

如果猜到此,其實好像就不難做,假設對稱軸是 \( x=a \),將函數平移,使之移至 \( y \) 軸

\( g(x) =f(x+a)= 2^{a+\log_2 3} \cdot 2^x + 2^{-a+\log_2 5} \cdot 2^{-x} +7 \) 為偶函數

\( 2^x,  2^{-x} \) 係數相同時為偶函數,所以 \( a+\log_2 3 = -a+\log_2 5 \)

解得 \( a= \frac{1}{2} \log_2 \frac{5}{3} \)

不過無論以上哪個解法,都要先看出鉛直線這回事

這件事是否顯然,或是如何猜出。亦或是只有在下眼拙看不出來
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回復 20# hua0127 的帖子

來個無聊例子, \( y=mx \) 的圖形是直線,所以任何一條垂線都是它的對稱軸

另外,如果考慮 \( y=x \) 是對稱的話,對稱的函數圖形,即為反函數

因為若 \( f (x) \) 之圖形以 \( y=x \) 為對稱軸 \( f(x) = f^{-1}(x) \) 則 \( f(f(x)) =x \)

寫到這還是沒什麼幫助,回到圖形,如果把 \( y = \frac1x \) 的右上圖形,截彎取直,

像是 \( y=\frac1x \) 和 \( x+y= c \) 所合成的圖形,也會對稱,而且避掉定義域或者不連續的問題

所以鉛直漸近線應該是非必要之條件
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回復 22# hua0127 的帖子

我想我和你一樣也在鬼打牆, \( y = c - x \) 不就又是另一個超好的例子了

實際上只要找個偶函數,把它對原點順時針轉個 45 度,出來的圖形就會對於稱於 \( x= y \)

接著我們需要一些假設,來保證轉出的圖形,是某個函數的圖形

設函數 \( f(x) \) 是可微分的偶函數,且 \( f'(x) > -1 \)

從切線的方向去觀察,轉完後的切線方向,和轉前的切線夾 45 度角

原圖形 \( (x,f(x)) \) 對 \( x \) 微分得切線方向 \( (1,f'(x)) \)

如果以原位置的 \( x \) 坐標當作新的圖形的參數, 則新的圖形對參數 \( x \) 微分,就是原微分轉 45 度

由 \( f'(x) > -1 \) 之條件可得該微分的水平分量必為正。

也就是說該圖形的 \( x \) 坐標對參數之微分恆正,為嚴格遞增函數,所以新的圖形每個 \( x \) 坐標只會出現一次

所以我們就可以利用新的圖形定義函數了

套用以上方法,其實要哪個對稱軸都可以造,只是需要轉的角度及 \( f'(x) \) 的限制不同而已

當然還有無敵的例子:直線。上述的構造,只是還想說這樣的東西要多少有多少,不會只有直線這個無聊的例子
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回復 24# hua0127 的帖子

同意,討論數學真的很有趣。沒有您的開頭,也不會有在下後來的想法

再補充一點,因為是偶函數,所以, \( f'(x) > -1 \) 的條件,其實就是 \( |f'(x)| <1 \)

這樣的函數怎麼找呢?隨便找一個微分有界的函數如 \( y = \cos x \)

把它壓扁,壓下去後, \( y = c \cos x \), \( |c|<1 \) 這樣 \( |y'| \leq |c|<1 \) 就有了

其它像是 \(  y = \frac{1}{1+x^2} \) 也可拿來壓,總之不勝枚舉

這個問題討論到此應該也差不多了,不要再讓我們兩個鬼打牆的繼續鬼打牆了
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回復 27# march2001kimo 的帖子

填充 3.
已知直線\(L\)過點\(M(-2,1,2)\)且與平面\(2x+3y-z+1=0\)平行並且與直線\(\displaystyle \frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-1}{1}\)相交,則\(L\)的方程式為   。(以對稱比例式表示)
[解答]
計算留著,自行補完

直線和平面平行,所以其方向與平面之法向量垂直

兩直線相交,所以兩直線共平面,從 \(M \)  點拉一個向量到已知直線,再和已知直線之方向向量外積,可得兩直線共所共平面之法向量。

兩個法向量皆與所求直線垂直,以外積可得欲求之方向向量

填充 2.
在坐標平面上,\(O\)為原點,從曲線\(xy=1(x>0)\)上兩點\(A,B\),分別作\(\overline{AP}\)垂直\(x\)軸,垂足為\(P\);作\(\overline{BQ}\)垂直\(x\)軸,垂足為\(Q\)。已知\(\Delta OAP\)的周長為\(\Delta OBQ\)周長的5倍,則\(\Delta OAP\)的內切圓半徑是\(\Delta OBQ\)內切圓半徑的   倍。
[解答]
設 \(\displaystyle A(a,\frac1a) \),則 \( \triangle OAP \) 面積 \(\displaystyle = \frac12 a\cdot \frac1a =\frac12 \) 同理 \( \triangle OBQ \) 亦然

再利用 \( \frac12 rs = \) 面積,即可得半徑是 \( \frac15 \) 倍
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回復 30# three0124 的帖子

填充4. 題意中 \( 0<x< \frac12 \),不包含 \( \frac12 \)

前面 16# 處的作法,應該是利用單調性和連續性,使用端點來保證不等式
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