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101中和高中

回復 8# natureling 的帖子

6. 二招:遞迴、生成函數

遞迴法:\( P_n = \frac{1}{6} \cdot (1-P_{n-1}) + 0 \cdot P_{n-1} \Rightarrow P_n = (\frac{-1}{6})^n \cdot \frac{6}{7} + \frac{1}{7} \)  (感謝 martinofncku 挑出筆誤)

生成函數:\( f(x) = \frac{1}{6^n} \cdot (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^n \)

令 \( \omega = \exp(\frac{2\pi i}{7}) \), 所求 \( = \frac{1}{7} \left( f(1)+f(\omega)+f(\omega^2)+f(\omega^3)+f(\omega^4)+f(\omega^5)+f(\omega^6) \right) =(\frac{-1}{6})^n \cdot \frac{6}{7} + \frac{1}{7} \)

類題:

(100中科實中) 一袋中有 5  個球,分別寫上 1,2,3,4,5  號,今由其中任取一球記下其號碼後放回袋中,如此繼續 n  次,若 \( P_{n} \) 表記錄到  n   次時數字和為偶數的機率,則 \( \sum\limits _{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2}-P_{n})=\underline{\qquad\qquad} \) 。     

(100鳳山高中) 袋中有 \( 1,2,\ldots,9 \)  號球各一個,每次自袋中取出一球,取後放回,共取 n  次,n  次和為偶數的機率記為 \( P_{n} \) ,
求 (1) \( P_{n+1} \)  及 \( P_{n} \)  之關係式
(2) \( \lim\limits _{n\to\infty}P_{n} \) 。     

(99鳳新高中) 不透明箱內有編號分別為 1  至 9  的九個球,每次隨機取出一個,記錄其編號後放回箱內;以 P(n)  表示前 n  次取球的編號之總和為偶數的機率。求 P(n)。
   
(99高雄高中) 一隻青蛙在 \( a,\, b,\, c,\, d,\, e,\, f \)  六相異點跳動,每次跳動之落點異於起跳點,若從 a  起跳,n  次後跳回 a  點有幾種跳法?     

(100桃園新進聯招) n  個人安排進入 A 、B 、C  三間房間,A  房間有奇數個人,請問有幾種不同的安排方法?
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回復 10# martinofncku 的帖子

的確是筆誤 等式右邊應皆為 n-1

感謝您的好眼力,來去修一下

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-1-10 02:04 PM 編輯 ]
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回復 26# satsuki931000 的帖子

填11. 想法沒問題,但有一個錯誤,導致了計算很醜:以 \( \overline{BD} \) 為轉軸,要轉的角不是 30 度

計算可以更簡單一些,只需要考慮過 A, M, C 三點之平面,其中 M 為 BD 中點,
A, C 旋轉之後仍在原平面之上

我算出來的答案是 \( \frac{10}{3} \),你可以再算算看
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