填充 4. 兩邊同時對 \( y \) 偏微得

\( f'(x+y) = 2 f(x) f'(y) \), \( y=0 \) 代入得

\( f'(x) = 2f(x) f'(0) = 4f(x) \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = 4 \)

再來補充個類題，把原題取個 log 就很像下面的類題了

100 中壢高中1招填充 8. 設 \(f,\, g \) 為可微分函數, 且 \( f(x+2y)=f(x)+g(y) \), \( \forall x,\, y\in R \). 試問：若 \( f(0)=1 \), \( f'(0)=2 \), 求 \(g(5) \).

看到這個類題後，聯想到第一次看到這個題型時，條件其實給的比較少：微分的條件，只要求 \( f \) 在 0 處可微，但從這個條件可以推出其它地方也可以微

不過，對於填充題的作答是沒什麼影響，如果是計算題就要小心條件了

現在把條件弱化一下，改成「 \( f(x+y)=2f(x)f(y) \) 對任意實數 \(x, y\) 且 \( f(0)>0,\, f'(0)=2 \)」

也就是可微函數的條件和函數皆正被拿掉了，但我們還是可以小心地處理

令 \( x=y=0 \) 代入解得 \( f(0) = \frac12 \)

若 \( y \neq 0 \),  則 \( \frac{f(x+y)-f(x)}{y}=\frac{2f(x)f(y)-f(x)}{y}=2f(x)\cdot\frac{f(y)-\frac{1}{2}}{y} \)

取極限\( y \to 0\), 得 \( f'(x) \) 存在且 \( f'(x) = 2f(x)f'(0) \)

現在只差把 \( f(x) \) 除過去，就結束了，所以需要 \( f(x) \neq 0\)

若 \( 0 = f(x)=2(f(\frac{x}{2}))^{2}  \)，也就是說 \( f(x) = 0 \Rightarrow f(\frac x2) =0 \Rightarrow f(\frac{x}{2^{n}}) = 0 \)

\( n \to \infty \) 又 0 點處連續(可微必連續) 得 \( f(0) = 0 \) 矛盾，所以 \( f(x) \neq 0 \)

所以即使把條件弱化到只有 0 處局部的訊息，還是一樣的結果 \( \frac{f'(x)}{f(x)} = 4 \)

更甚者，可以直接把 \(f\) 算出來 \( f(x) = \frac{1}{2} e^{f'(0)x} \), 其實就是解微分方程

引用:

原帖由 老王 於 2012-5-31 10:14 PM 發表
前天她問我的時候，一開始我也以為是要相切；但是又想一下，覺得不必。
後來實際去做的時候，就將直線\( y=kx+b \)代入拋物線和圓的時候，得到兩個方程式:
\(\displaystyle kx^2-kx-b=0 \)
\(\displaystyle (1+k^2)x^2-2ax-b^2\) ...

多謝老王老師的指教，將題目的意思看清楚看來也是一個值得學習的關鍵，長知識了～

在現場中  有考慮同時將三角形ABP及PBC逆時針旋轉90度來想ˇˇˇ並想利用餘弦定理來想

引用:

原帖由 weiye 於 2012-6-1 08:48 AM 發表
填充第 7 題，換個方向旋轉也不錯。

填充第 7 題，另解一：

1171

如圖，將 \(\triangle PBC\) 以 \(B\) 為旋轉中心，逆時針旋轉 \(90^\circ\)，

則 \(\triangle PQB\) 為等腰直角三角形，得 \(\overline{PQ}=5\sqrt{2}\)，...

謝謝瑋岳老師

這個圖我看懂了

我記得建中通訊解得有類似題

昨天有去找,可惜沒找到

謝謝你

那再來一個另解好了，

填充第 7 題，

qq2.png (6.44 KB)

2012-6-1 20:28

如上圖，連接 \(\overline{PD}\)，

因為 \(\overline{PA}^2+\overline{PC}^2=\overline{PB}^2+\overline{PD}^2\)

（上面這行用一堆畢氏定理就可以證出來了～）

可得 \(\overline{PD}=5\)

因此，\(\triangle ABP\sim\triangle ADP\) 且 \(\triangle CBP\sim\triangle CDP\) 　（兩者皆用ＳＳＳ全等性質）

可得 \(A, P, C\) 三點共線，因此正方形 \(ABCD\) 的對角線 \(\overline{AC}=7+1=8\)

\(\Rightarrow\) 可得正方形 \(ABCD\) 的邊長與面積。

引用:

原帖由 zeratulok 於 2012-5-29 07:52 AM 發表


第5可以用轉換的！
把[sin(2t-45),cos(2t-45)]轉換成[cos(135-2t),sin(135-2t)]
然後就可以算出他的範圍就在單位圓上的75～105度
接下來就看附圖應該就會了！
粗線就是p的移動軌跡（其實是沒有畫好....） ...

請問為什麼不可直接算[sin(2t-45),cos(2t-45)]　　
當ｔ=１５度,可得[sin(-１５度),cos(-１５度)]
當ｔ=３０度,可得[sin(１５度),cos(１５度)]

[ 本帖最後由 mandy 於 2012-6-1 10:24 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 mandy 於 2012-6-1 10:20 PM 發表
請問為什麼不可直接算[sin(2t-45),cos(2t-45)]　　
當ｔ=１５度,可得[sin(-１５度),cos(-１５度)]
當ｔ=３０度,可得[sin(１５度),cos(１５度)]

可以呀， 畫出來還會是跟 #11 zeratulok 的圖一樣呀，

點 \((\cos\theta,\sin\theta)\) 是位在單位圓上，從正向 \(x\) 軸開始逆時針旋轉 \(\theta\) 角，如下～

qq1.png (15.63 KB)

2012-6-1 23:18

而點 \((\sin\theta,\cos\theta)\) 是位在單位圓上，從正向 \(y\) 軸開始順時針旋轉 \(\theta\) 角而已，如下～

qq2.png (15.27 KB)

2012-6-1 23:18

所以，[sin(-１５度),cos(-１５度)]～角度增加到～[sin(１５度),cos(１５度)]的點移動軌跡如下，

qq3.png (13.21 KB)

2012-6-1 23:25

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-5-28 11:01 PM 發表
填充 9. 小弟來個暴力解，應該有其它比較優的方法

坐標化 \( C(0,0),\, A(0,a),\, B(0,b) \), 向量全寫下了

內積和除以 \( n \) 列式得 \( \frac1n \sum\limits _{k=1}^{n}\frac{k(k-1)}{n^{2}}(a^{2}+b^{2}) \)

可 ...

ＡＢＣ是直角三角形,Ｂ座標是不是(ｂ,０),若用(ｂ,０)做,　內積和的列式裡係數就會有ｎ　?

請問版上的老師第六題該怎麼做啊?

祝各位老師   新年快樂!

填充題第 6 題：

法一：用排容原理，

\(8!-\left(C^3_2\times7!\times2-6!\times3!\right)-7!\times2-7!\times2\)

　\(+\left(C^3_2\times6!\times2\times2-5!\times3!\times2\right)+\left(C^3_2\times6!\times2\times2-5!\times3!\times2\right)+6!\times2\times2\)

　\(-\left(C^3_2\times5!\times2\times2\times2-4!\times3!\times2\times2\right)\)

　\(=9216\)

任排－甲乙丙至少有兩人相鄰（三人同時相鄰有多扣要回補）－丁戊相鄰－己庚相鄰

　＋甲乙丙至少有兩人相鄰（三人同時相鄰有多扣要回補）且丁戊相鄰＋甲乙丙至少有兩人相臨（三人同時相鄰有多扣要回補）且己庚相鄰

　＋丁戊相鄰且己庚相鄰

　－甲乙丙至少有兩人相鄰（三人同時相鄰有多扣要回補）且丁戊相鄰且己庚相鄰

法二：先分類之後列出 "丁戊己庚辛" 的排列方法，

　　　分類方式是按照丁戊、幾庚這兩組分成

　　　"1. 兩組都相鄰（\(3!\times2\times2=24\)） 2. 兩組恰一組相鄰（\(C^2_1\times\left(4!\times2-24\right)=48\)） 3. 兩組都沒有相鄰（\(5!-24-48=48\)）"，

　　　然後再讓甲乙丙插空隙。

　　　\(24\times\left(3\times2\right)\times4+48\times3\times\left(5\times4\right)+48\times\left(6\times5\times4\right)=9216\)

類題：https://math.pro/db/thread-1610-1-1.html