填充 9. 小弟來個暴力解，應該有其它比較優的方法

坐標化 \( C(0,0),\, A(0,a),\, B(0,b) \), 向量全寫下了

內積和除以 \( n \) 列式得 \( \frac1n \sum\limits _{k=1}^{n}\frac{k(k-1)}{n^{2}}(a^{2}+b^{2}) \)

可以認填算以下求和公式，懶得算的話，就當作  \( k^2 \) 積分跑出 \( \frac13 \)

所以答案就是 \( \frac{c^2}{3} \)

填充 10 仔細一做，根本是騙人的題目...

各位看看，或許是小弟做錯了

聯立 \( y=kx^{2} \), \( (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=a^{2}+b^{2} \) 得 \( x(k^{2}x^{3}+(1-2kb)x-2a)=0 \)

實係數四次方程式，已知有恰有三相異實根，必為四實根，且其一為二重根

令該重根為 \( -\alpha \)，根與係數可得剩下一根為 \( 2 \alpha \)

乘開以此四根為根的多項式 \( k^{2}x(x+\alpha)^{2}(x-2\alpha)=k^{2}x(x^{3}-3\alpha^{2}x-2\alpha^{3}) \)

比較係數得 \( 1-2kb=-3\alpha^{2}k^2, a=\alpha^{3}k^2 \)

兩交點坐標 \( (-\alpha, k\alpha^2) \), \( (2\alpha, 4k\alpha^2) \)，其連線斜率亦為 \( k \)

因此 \( k=\frac{4k\alpha^{2}-k\alpha^{2}}{2\alpha-(-\alpha)}=k\alpha\Rightarrow\alpha=1 \) 代回比較係數之結果得 \(a=k^2\) 且 \(1-2kb=-3k^2\)。

故兩交點為  \( (-1,k),\,(2,4k) \)，又兩交點連線過 \( (0,b) \) 且斜率為 \( k \)，因此 \( \Rightarrow b=2k \Rightarrow 1-4k^{2}=-3k^2 \Rightarrow k=1, b=2, a=1\)

這根本是一場騙局麻...重頭到尾 \( b \) 只有一個值而已，一直被求最小值騙了

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-29 04:25 PM 編輯 ]

計算 2.
\( \sqrt{2012}\approx44.8 \)，若 \( k\leq44 \), 由除法原理得 \( 2012=k\cdot m+r \), 則 \( 0<r<k\leq m \)

因此 \( \frac{2012}{m}=k+\frac{r}{m}\Rightarrow\left[\frac{2012}{m}\right]=k\Rightarrow k=1,2,3,\ldots,44 \) 皆有解。

以上注意只要 \( r < m \) ，則 \( \left[\frac{2012}{m}\right]=k \) (\( k \) 正整數皆可)

\( 2012\div45=44\ldots32,  2012\div46=43\ldots34 \)

\( 2012\div47=42\ldots38, 2012\div48=41\ldots44 \)。

\( \frac{2012}{41}=49+\frac{3}{44},  \frac{2012}{42}=47+\frac{38}{42} \)，又由單調性，得 \( k=48 \) 原方程無解。

又 \( k=1..47 \) 以上已驗有解，因此 \( k=48 \) 為最小正整數使之無解。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-29 10:53 PM 編輯 ]

填充 1. 線性變換的重點在於線性

所以只要 \( (1,0),  (0,1) \)  對應後在  \( y= 2x \) 上

其實就全部的 \( R^2 \) 對過去都在 \( y = 2x \) 上了

而 \( (1,0), (0,1) \)  分別對應到 \( (a,c), (b,d) \) 在直線上

所以 \( c=2a,  d=2b \), 所求等於 \( 2 + \frac12 = \frac52 \)

從頭到尾，那個圓就是個幌子而已

是的，因為是線性的，或者說是符合分配律(及係數積) 再加上 \( y=2x \) 在 \( R^2 \) 構成一個子空間

所以如果基底映射過去在  \( y=2x \) 上，整個 \( R^2 \) 映射過去就都會在 \( y=2x \) 上

填充 7. 承 shiauy 所說，旋轉 90 度，所以 \( \angle P'BP = 90^\circ \)

計算得 \( \overline{P'P} = 5\sqrt{2} \), 再由畢氏逆定理得 \( \angle P'AP = 90^\circ \)

因此四邊形 \( P'APB \) 對角互補，為圓內接四邊形

由托勒密定理得 \( \overline{AB}\cdot \overline{P'A} = \overline{PA}\cdot \overline{BP'} + \overline{AP'}\cdot \overline{PB} \)

代入數字可得邊長 \( = 4\sqrt{2} \) 得面積 \( 32 \)

和 # 33 重覆了，沒注意到，以下可以跳過了

計算 1. Rudin 大師是對的

如果把橢圓兄的 \( S \) 對 \( \overleftrightarrow{QR} \) 作對稱的話，角度仍然是 \( 60^\circ \)，此時四點不共圓

pic2.png (31.3 KB)

2012-5-30 17:26

其實所以滿足 \( 60^\circ \) 的點夠成的圖是 \(QSR \) 優弧 和 \( QS'R \) 優弧

不過 \( QS'R \) 弧的圓心恰好就是 \( P \) 因此如果 \( S' \) 所代表的 \( |\vec{c}| =1 \)

不影響最大值

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-30 10:59 PM 編輯 ]

題目的確是沒有說相切， # 17 小弟回覆就曾說或許是小弟錯了

也許是小弟的中文不好會錯意，但也不排除題目的敘述不好

來看看原題敘述「...有異於原點的另外兩個交點，此二交點落在直線 \( y = kx+b \) 上」

前半段有另外兩個交點，當然沒有恰有另外兩個交點的意思，應該可以指二個以上
當然也有可能小弟的中文理解錯誤

但後半的此二兩字，是指定的用法。當交點數是有三個的情況，此二兩個字根本無法指定，是不通的用法

如果真的要把敘述說好不誤會，要麼加上「恰有」二字，或是改成其交點有兩點落點落在直上  \( y =kx+b \)

不過既然題目要求最小值，推測後者才是出題者的原意，也就是不應該加上相切的條件。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-31 08:00 PM 編輯 ]

計算 2. 因為書寫順序和思考的順序不同...所以才讓您覺得從 \( \sqrt{2012} \) 寫起怪怪的吧


思考的時候，是從幾個例子開始，


如果 \( k =1 \), 取 \( n=2012 \)
如果 \( k =2 \), 取 \( n=1006 \)
如果 \( k =3 \), 取 \( n=670 \)
...
發現基本上就是去找 \( n = [\frac{2012}{k}] \)


剩下來的就是去實現這個發現，那什麼條件之下，可以保證商就是我們要的 \( n \)


其實就是餘要小於商，用 #19 中的記號就是 \( r<m \)，但我們的除法只保證 \( 0 \leq r < k \) (原先漏一個等號)


所以才借助 \( \sqrt{2012} \) 來使得 \( k\leq m \) ，如此來一來處理完 \( k=1 \) 到 44 都有解


剩下的只好一個一個慢慢驗，只是一樣借助  \( r<m \) 加快檢驗

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-1 08:54 AM 編輯 ]

填充 4. 兩邊同時對 \( y \) 偏微得

\( f'(x+y) = 2 f(x) f'(y) \), \( y=0 \) 代入得

\( f'(x) = 2f(x) f'(0) = 4f(x) \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = 4 \)

再來補充個類題，把原題取個 log 就很像下面的類題了

100 中壢高中1招填充 8. 設 \(f,\, g \) 為可微分函數, 且 \( f(x+2y)=f(x)+g(y) \), \( \forall x,\, y\in R \). 試問：若 \( f(0)=1 \), \( f'(0)=2 \), 求 \(g(5) \).

看到這個類題後，聯想到第一次看到這個題型時，條件其實給的比較少：微分的條件，只要求 \( f \) 在 0 處可微，但從這個條件可以推出其它地方也可以微

不過，對於填充題的作答是沒什麼影響，如果是計算題就要小心條件了

現在把條件弱化一下，改成「 \( f(x+y)=2f(x)f(y) \) 對任意實數 \(x, y\) 且 \( f(0)>0,\, f'(0)=2 \)」

也就是可微函數的條件和函數皆正被拿掉了，但我們還是可以小心地處理

令 \( x=y=0 \) 代入解得 \( f(0) = \frac12 \)

若 \( y \neq 0 \),  則 \( \frac{f(x+y)-f(x)}{y}=\frac{2f(x)f(y)-f(x)}{y}=2f(x)\cdot\frac{f(y)-\frac{1}{2}}{y} \)

取極限\( y \to 0\), 得 \( f'(x) \) 存在且 \( f'(x) = 2f(x)f'(0) \)

現在只差把 \( f(x) \) 除過去，就結束了，所以需要 \( f(x) \neq 0\)

若 \( 0 = f(x)=2(f(\frac{x}{2}))^{2}  \)，也就是說 \( f(x) = 0 \Rightarrow f(\frac x2) =0 \Rightarrow f(\frac{x}{2^{n}}) = 0 \)

\( n \to \infty \) 又 0 點處連續(可微必連續) 得 \( f(0) = 0 \) 矛盾，所以 \( f(x) \neq 0 \)

所以即使把條件弱化到只有 0 處局部的訊息，還是一樣的結果 \( \frac{f'(x)}{f(x)} = 4 \)

更甚者，可以直接把 \(f\) 算出來 \( f(x) = \frac{1}{2} e^{f'(0)x} \), 其實就是解微分方程