填充第 3 題：

小於 \(3^{10}\) 且與 \(3^{10}\) 互質的正整數個數為 \(\displaystyle 3^{10}\left(1-\frac{1}{3}\right)=2\cdot 3^9\)

思考：若 \(1\leq k<3^{30}\) 且 \(gcd(k,3^{10})=1\)，則 \(\displaystyle  gcd(3^{10}-k,3^{10})=1\Rightarrow \frac{k}{3^{10}}+\frac{3^{10}-k}{3^{10}}=1\)

因此，所求＝\(\displaystyle  \frac{1}{2}\cdot \left(2\cdot3^9\right)=3^9=19683.\)

填充第 8 題：

思考：小弟不太喜歡兩個變數互相限制來限制去的，因使先想辦法讓兩個變數沒有瓜葛～

令 \(t=x-y\Rightarrow t\geq0\)

\(\displaystyle\frac{5x+4y}{x+2y}=\frac{5t+9y}{t+3y}=3+\frac{2t}{t+9y}=3+\frac{2}{1+\frac{y}{t}}\geq3\)

先找出下界是 \(3\) 了！

當 \(t=0,y\in R^+\)時，\(\displaystyle \frac{5t+9y}{t+3y}\) 有最小值為 \(3\)

亦即當 \(x=y>0\) 時，可得 \(\displaystyle \frac{5x+4y}{x+2y}\) 有最小值為 \(3\)



因為 \(\displaystyle \frac{y}{t}\geq0\)，因此 \(\displaystyle \frac{5x+4y}{x+2y}=3+\frac{2}{1+\frac{y}{t}}\leq3+\frac{2}{1+0}=5\)

找到上界 \(5\) 了！

當 \(y=0, x>0\) 時，可得 \(\displaystyle \frac{5x+4y}{x+2y}=5\) 為最大值.


因此，所求＝最小值＋最大值＝\(8\)

填充第 6 題：

※　如下想了一個怪方法，我想應該有其他更漂亮的方法吧。

先畫出圖形，觀察一下～

令 \(\displaystyle \vec{BO}=p\vec{BA}+q\vec{BC}\) .......(1)

將 (1) 的等號左右同時內積 \(\displaystyle \vec{BA}\)，可得 \(\displaystyle 27=27p+(-27)q\)

將 (1) 的等號左右同時內積 \(\displaystyle \vec{BC}\)，可得 \(\displaystyle 108=(-27)p+108q\)

兩式解聯立，可得 \(\displaystyle p=\frac{8}{3}, q=\frac{5}{3}\)

亦即 \(\displaystyle \vec{BO}=\frac{8}{3}\vec{BA}+\frac{5}{3}\vec{BC}=\frac{13}{3} \left(\frac{8}{13}\vec{BA}+\frac{5}{13}\vec{BC}\right) \)

令 \(\displaystyle \overline{OB}\) 與 \(\displaystyle \overline{AC}\) 的交點為 \(\displaystyle D\)

可得 \(\displaystyle \overline{AD}:\overline{DC}=5:8\)，且 \(\displaystyle \overline{BD}:\overline{OB}=3:13\Rightarrow \overline{OD}:\overline{OB}=10:13\)

因此，\(\displaystyle \vec{OD}=\frac{8}{13}\vec{OA}+\frac{5}{13}\vec{OC}\) 且 \(\displaystyle \vec{OB}=\frac{13}{10}\vec{OD}\)

故，\(\displaystyle \vec{OB}=\frac{13}{10}\left(\frac{8}{13}\vec{OA}+\frac{5}{13}\vec{OC}\right)=\frac{4}{5}\vec{OA}+\frac{1}{2}\vec{OC}\)

計算第 5 題：

\(\displaystyle\frac{36}{5\cdot7\cdot11}=\frac{a}{5}+\frac{b}{7}+\frac{c}{11}\)

\(\Rightarrow 36=a\cdot7\cdot11+b\cdot5\cdot11+c\cdot5\cdot7\)


\(1\equiv a\cdot2\pmod{5}\Rightarrow a\equiv3\pmod{5}\Rightarrow a=3\) 或 \(a=-2\)

\(1\equiv b\cdot6\pmod{7}\Rightarrow b\equiv6\pmod{7}\Rightarrow b=6\) 或 \(b=-1\)

\(3\equiv c\cdot2\pmod{11}\Rightarrow c\equiv7\pmod{11}\Rightarrow c=7\) 或 \(c=-4\)

因此僅有 \(2\times2\times2=8\) 種情況是有可能得，

再帶入 \(\displaystyle\frac{36}{5\cdot7\cdot11}=\frac{a}{5}+\frac{b}{7}+\frac{c}{11}\) 檢查看這八種中有多少種會成立，

可得正確的答案。

計算第 5 題：

另解，

\(36=77a+5(11b+7c)\)

解出通解 \(a=-2+5t, 11b+7c=38-77t\)，其中 \(t\) 為整數，

因為 \(|a|<5\)，所以 \(t=0\) 或 \(t=1\)

case i: 當 \(t=0\) 時，\(11b+7c=38\)，解出通解 \(b=-1+7m, c=7-11m\)，其中 \(m\) 為整數，

　　　　因為 \(|b|<7\) 且 \(|c|<11\)，所以 \(m=0\) 或 \(m=1\)，可得 \((a,b,c)=(-2,-1,7)\) 或 \((-2,6,-4)\)

case Ii: 當 \(t=1\) 時，\(11b+7c=-39\)，解出通解 \(b=-1+7m, c=-4-11m\)，其中 \(m\) 為整數，

　　　　因為 \(|b|<7\) 且 \(|c|<11\)，所以 \(m=0\)，可得 \((a,b,c)=(3,-1,-4)\)





>>>>>>>>>另外，順便來寫一下雙自由變數的通解，如下<<<<<<<<<<<<<<<<

\(36=77a+5(11b+7c)\)

先寫出 \((a,11b+7c)\) 的特解 \((-2,38)\)，再寫通解 \(a=-2+5t, 11b+7c=38-77t\)，其中 \(t\) 為整數，

再來考慮 \(11b+7c=38-77t\)，

先寫出 \((b,c)\) 的特解 \((-1,7-11t)\)，再寫通解 \(b=-1+7m, c=7-11t-11m\)，其中 \(m\) 為整數。

因此， \((a,b,c)\) 整數解的通解為 \((a,b,c)=(-2+5t, -1+7m, 7-11t-11m)\)，其中 \(t,m\) 為整數。

然後再依照本題的 \(|a|<5,|b|<7,|c|<11\)，也可解得對應的 \(t,m\) 之值。

填充第 5 題：

令 \(<a_n>\) 的公比為 \(a\)，\(<b_n>\) 的公比為 \(b\)，則

解 \(\displaystyle\left\{\begin{array}{cc}\displaystyle \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}=\frac{8}{3}\\ \frac{1}{1-ab}=\frac{4}{5}\end{array}\right.\)，可得 \(\displaystyle(a,b)=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})\) 或 \(\displaystyle(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})\)

因此，所求＝\(\displaystyle\frac{1}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}+2\cdot\frac{1}{1-\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{-1}{2}\right)}+\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{64}{15}.\)

令 \(k=11b+7c\)，則 \(36 = 77a + 5 k\)

欲求 \(a,k\) 的整數解，

法一： 尤拉法，\(\displaystyle 36 = 77a +5k\Rightarrow k=7-15a + \frac{1-2a}{5}\)

　　　 欲求整數 \(a\) ，使得 \(k\) 亦為整數，可取 \(1-2a=5\Rightarrow a=-2\)

　　　 此時 \(k=38\) 亦為整數。


法二：因為 \(gcd(77,5)=1\) ，所以先找 「\(77\times\mbox{第一數}+5\times\mbox{第二數}=1\)」

　　　利用輾轉相除法（ＰＯ文不方便寫成表格狀，以下改以橫式書寫～），

　　　\(77÷5=15 \cdots 2\Rightarrow 77=15\cdot5+2\)

　　　\(5÷2=2 \cdots 1 \Rightarrow 5 = 2\cdot2+1\)

　　　由最後一式往上帶回去，

　　　可知 \(1 = 5 - 2\cdot2\)

　　　\(\Rightarrow 1 = 5 - 2\cdot\left(77-15\cdot 5\right)\)

　　　\(\Rightarrow 1 = 5\times31 +77\times\left(-2\right)\)

　　　左右兩邊同時乘以 \(36\)，可得

　　　\(36 = 5\times\left(31\cdot36\right)+77\times\left(-2\cdot36\right)\)

　　　\(36 = 5\times\left(1116\right)+77\times\left(-72\right)\)

　　　再找通解 \(36 = 5\times\left(1116-77k\right)+77\times\left(-72+5k\right)\)，其中 \(k\) 為任意整數

　　　取 \(k=-14\)，即可得 \(36 = 5\times38+77\times\left(-2\right)\)

法三： google "秦九韶大衍求一術"