引用:

原帖由 shingjay176 於 2012-5-23 09:22 PM 發表
晚剛有去考，提供一題證明題。證明三高共點。
考了十二題計算題。

圓內接正三角形ABC，圓的半徑為r,p為圓上任意點，求pa線段乘pb線段乘pc線段之最大值？ ...

#2
轉成複數平面
令A:x1=r(cos0°+i*sin0°) ,B:x2=r((cos120°+i*sin120°),C:x3=r(cos240°+i*sin240°),
   P:w=r(cosθ+i*sinθ)
則x1,x2,x3為x^3=r^3的解,(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)=x^3-r^3------------(*)
將w代入(*)得 (w-x1)*(w-x2)*(w-x3)=w^3-r^3=r^3[cos(3θ)-1 +i*sin(3θ)]
取絕對值則
|(w-x1)|*|(w-x2)|*|(w-x3)|
=PA*PB*PC
=r^3*{ [cos(3θ)-1]^2+[sin(3θ)]^2 }^0.5
=r^3*[2-2cos(3θ)]^0.5
<=r^3*[2-2(-1)]^0.5
=2*r^3為最大值

註:當θ=60°,180°,300°時,所求有最大值


110.5.25補充
已知一單位圓圓\(O\)，且\(\Delta ABC\)為圓\(O\)之內接正三角形。若\(P\)為圓\(O\)上一動點，則\(\overline{PA}\times\overline{PB}\times \overline{PC}\)的最大值為何？
(110竹科實中，https://math.pro/db/thread-3508-1-1.html)

引用:

原帖由 rudin 於 2012-5-23 09:49 PM 發表
sin那題，nysml考題，101那本P.146頁，答案2^(-89/2)

這題作法
跟PA*PB*PC那題的技巧相同~

引用:

原帖由 shingjay176 於 2012-5-23 10:17 PM 發表
我是座標化，把三個點標出直角座標，p點用圓的參數式寫，在利用點跟點的距離公式，三個式子硬乘開，化簡後。式子簡化很多，也有証明出来。

用複數平面來做,應該會比較精簡