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101 武陵高中

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101 武陵高中

晚剛有去考,提供一題證明題。證明三高共點。
考了十二題計算題。

圓內接正三角形ABC,圓的半徑為r,p為圓上任意點,求pa線段乘pb線段乘pc線段之最大值?



101.5.24版主補充
以下資料供以後考生參考:

初試最低錄取分數 55分
取10名參加複試,錄取1名
72,71,66,62,62,59,58,56,56,55

其他,
50~54分 7人
40~49分 18人
30~39分 22人
20~29分 17人
10~19分 8人
0~9分   1人
缺考    4人

共計 87 人

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-5-24 08:31 PM 編輯 ]

附件

101武陵高中初試成績.rar (5.91 KB)

2012-5-24 20:31, 下載次數: 4368

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回復 1# shingjay176 的帖子

sin那題,nysml考題,101那本P.146頁,答案2^(-89/2)

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引用:
原帖由 shingjay176 於 2012-5-23 09:22 PM 發表
晚剛有去考,提供一題證明題。證明三高共點。
考了十二題計算題。

圓內接正三角形ABC,圓的半徑為r,p為圓上任意點,求pa線段乘pb線段乘pc線段之最大值? ...
#2
轉成複數平面
令A:x1=r(cos0°+i*sin0°) ,B:x2=r((cos120°+i*sin120°),C:x3=r(cos240°+i*sin240°),
   P:w=r(cosθ+i*sinθ)
則x1,x2,x3為x^3=r^3的解,(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)=x^3-r^3------------(*)
將w代入(*)得 (w-x1)*(w-x2)*(w-x3)=w^3-r^3=r^3[cos(3θ)-1 +i*sin(3θ)]
取絕對值則
|(w-x1)|*|(w-x2)|*|(w-x3)|
=PA*PB*PC
=r^3*{ [cos(3θ)-1]^2+[sin(3θ)]^2 }^0.5
=r^3*[2-2cos(3θ)]^0.5
<=r^3*[2-2(-1)]^0.5
=2*r^3為最大值

註:當θ=60°,180°,300°時,所求有最大值


110.5.25補充
已知一單位圓圓\(O\),且\(\Delta ABC\)為圓\(O\)之內接正三角形。若\(P\)為圓\(O\)上一動點,則\(\overline{PA}\times\overline{PB}\times \overline{PC}\)的最大值為何?
(110竹科實中,https://math.pro/db/thread-3508-1-1.html)

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引用:
原帖由 rudin 於 2012-5-23 09:49 PM 發表
sin那題,nysml考題,101那本P.146頁,答案2^(-89/2)
這題作法
跟PA*PB*PC那題的技巧相同~

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回復 4# Ellipse 的帖子

我是座標化,把三個點標出直角座標,p點用圓的參數式寫,在利用點跟點的距離公式,三個式子硬乘開,化簡後。式子簡化很多,也有証明出来。

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引用:
原帖由 shingjay176 於 2012-5-23 10:17 PM 發表
我是座標化,把三個點標出直角座標,p點用圓的參數式寫,在利用點跟點的距離公式,三個式子硬乘開,化簡後。式子簡化很多,也有証明出来。
用複數平面來做,應該會比較精簡

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回復 6# Ellipse 的帖子

沒錯,你的算式真的精簡很多,有時候在考場做題目就是一個念頭。我當下還是選擇穩扎穩打。好在十分有拿到。今天晚上有八十七個人考。作答的答案紙,題號跟作答範圍都劃範圍框框劃好了。計算過程沒有控制好,很容易就超出範圍,寫到答案紙的邊邊了。

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計算題第一題,((根號5)+2)^101=m+n(根號5),請說明m,n是偶數還是奇數.(5分)

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回復 8# shingjay176 的帖子

補完計算 1
(1) \(  (\sqrt{5} +2)^{101} =m + n \sqrt{5} \), \( m,  n \) 整數,請說明 \( m, n\) 是偶數還是奇數

(2) \( h = (\sqrt{5} +2)^{101} = a + k \) ,其中 \( a \) 為正整數且 \( 0 < k <1 \),求 \( hk \)

再補一題

\( F \) 為橢圓 \( \frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{72} =1 \) 之右焦點, \( A(1,3) \), \( P \) 在橢圓上,

求 \( \overline{PF} + \overline{PA} \) 的最大最小值


再補一題...印象中好像是有兩種郵資的郵票  5 元和 12 元各無限多張,

求最大的正整數 \( n \) , 使得無法湊出 \( n \) 元郵資

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-25 08:56 AM 編輯 ]
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回復 1# shingjay176 的帖子

三角形三高共點,在考試時候想了好久,真的不知道如何下筆

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