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101 武陵高中

回復 10# shingjay176 的帖子

三角形三高共點,用向量證很快。



∆ABC 中

過 A 作 AD 垂直 BC 於 D,

過 B 作 BE 垂直 CA 於 E,

設 AD 與 BE 交於 H,

且 CH 延長線交 AB 於 F,



因為 AD 垂直 BC 且 向量 AD 平行向量 AH

→ 向量 AH‧向量 BC =0 (接下來硬是要拆開,把一切都寫成 "X"H 向量)

→ 向量 AH‧(向量 BH-向量CH) =0

→ 向量 AH‧向量 BH-向量 AH‧向量CH =0 .............(1)



因為 BE 垂直 CA 且向量 BE 平行向量 BH

→ 向量 BH‧向量 CA =0(接下來硬是要拆開,把一切都寫成 "X"H 向量)

→ 向量 BH‧(向量 CH-向量AH) =0

→ 向量 BH‧向量 CH-向量 BH‧向量AH =0 .............(2)





由 (1) (2) 兩式相加,

可得 向量 BH‧向量 CH-向量 AH‧向量CH =0

→ (向量 BH-向量 AH)‧向量CH =0

→ 向量 AB‧向量CH =0




且因為 向量CH 平行 向量 CF

所以, CF 垂直 AB

意即,過 A, B 兩點所作的高之交點,也會在過 C所作之高之上,

故,三角形 ABC 的三高有共同交點。

多喝水。

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回復 11# weiye 的帖子

我現場有用這想法去做,可惜轉不出來答案。我的想法是先讓其中兩個高連線,交於H點。再用第三個頂點,和H點連線,在延長後,交於對邊於E點,要證明此線段與對邊垂直。
現在來想想看,看證明的出來嗎??

附件

IMAG0079.jpg (48.2 KB)

2012-5-23 23:26

IMAG0079.jpg

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回復 12# shingjay176 的帖子

真的用向量證明,可以很快證明出來。但在考場就有如鬼擋牆一般。就是無法衝破那個想法的點。可惜十分又沒拿到了。第一題計算題也沒寫出來。

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2012-5-23 11:24 PM 編輯 ]

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回復 13# shingjay176 的帖子

小弟也是鬼打牆向量做不出來,回家搭火車路上就想到了

考場裡只好開大絕,過三頂點補三條和對邊的平行線

此三條線交出三點形成的三角線,三邊恰以原三角形三頂點為中點

於是原本小三角形的三垂線,就變成新的大三角形的三中垂線

接下來國中生的,就會證了
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反過來說,應該比較好理解

任一個三角形會與其三邊中點所形成的三角形相形,而且是兩倍大

畫個圖,大的中垂線就是小的高

所以問題可以換成三中垂線交於一點

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-24 10:03 AM 編輯 ]
網頁方程式編輯 imatheq

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回復 14# tsusy 的帖子

你的方法,我沒看懂勒。指點一下。考場裡最大的障礙是時間壓力吧。
我來好好思考。謝啦

大的中垂線就是小三角形的高,要說明嗎啊,怎麼說明。(這我想通了),該如何想三中垂線共點勒。這樣想是把三高共點,轉換成證明,三中垂線共點勒。

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2012-5-24 11:53 AM 編輯 ]

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回復 3# Ellipse 的帖子

不好意思 回鍋請教一下這一題
曾使用坐標化 或是 複數平面證明,這幾天想換了一種方式去證,但似乎覺得PA的說法有點沒說服力,請大家幫忙指正

題目:圓內接正三角形ABC,圓的半徑為r,P為圓上任意點,求PA線段乘PB線段乘PC線段之最大值

在不失一般性的假設下
設P點在BC弧上
欲使PA × PB × PC 最大
PA × PB × PC ≦ PA × [(PB + PC)/2]^2
若等號成立 PB = PC = r 且 此時的 PA 恰好會是圓內最大的弦 <---------是不是有更好的說法?
得 PA × PB × PC ≦ 2r × r^2 = 2r^3

是不是該補充說明 這圖有對稱性或是其他之類的?
因為我們知道 對於隨意三個正數 x y z 乘積 , 若 y與z乘積有最大時,也未必保證x就是最大
但這題目很巧的是, PB = PC = r 時, PA 是最大的,這圖形又有很好的對稱性,所以這樣的證明方法,不知適不適合?

[ 本帖最後由 CyberCat 於 2015-4-3 03:12 PM 編輯 ]

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回復 16# CyberCat 的帖子

這樣證會有個小問題,就是 PB + PC 的值並非定值

小弟的想法如下:
P 在弧 BC 上(P 不為 B 或 C)時
△PBC = (1/2) * PB * PC * sin(2π/3) = (√3/4) * PB * PC
由同底(BC),高愈長,面積愈大,可知 P 在弧 BC 中點時,PB * PC 有最大值,而此時 PA 是直徑也是最大
故 PA * PB * PC 有最大值

[ 本帖最後由 thepiano 於 2015-4-3 05:21 PM 編輯 ]

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回復 17# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師的指點
我一直覺得我的論證中好像哪裡怪怪的
原來是我忽略了 PB + PC 並非定值 這個條件

您提到用面積的想法去找出 PB * PC 最大值的想法 真是頗有趣味的^^
(都忘了有圓周角固定為2π/3可以使用)
感謝您的回覆 讓我又多學到了一些

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