彰化高中公佈題目跟答案了，感謝 ptt 網友 polipo 提醒。

小弟已將題目與答案以附加檔貼到本討論串的首篇了！：Ｄ

計算作圖題第 1 題：
以\(O\)表坐標平面的原點。給定一點\(A(4,3)\)，而點\(B(x,0)\)在正\(x\)軸上變動。以\(l(x)\)表示\(\overline{AB}\)長，求\(\Delta OAB\)中兩邊長比值\(\displaystyle \frac{x}{l(x)}\)的最大值。
(請給出兩種解法：一種是微積分的方法、一種是幾何觀點的方法。)

微積分法：

\(l(x)=\sqrt{(x-4)^2+3^2}=\sqrt{x^2-8x+25}\)

令 \(\displaystyle f(x)=\frac{x}{l(x)}=\frac{x}{\sqrt{x^2-8x+25}}\)

\(\displaystyle f\,'(x)=\frac{25-4x}{(x^2-8x+25)\sqrt{x^2-8x+25}}\)

解 \(f\,'(x)=0\)，可得 \(\displaystyle x=\frac{25}{4}\)

且當 \(\displaystyle x>\frac{25}{4}\) 時，\(f\,'(x)<0\)；

當 \(\displaystyle x<\frac{25}{4}\) 時，\(f\,'(x)>0\)

所以， 當在 \(\displaystyle x=\frac{25}{4}\) 時，\(\displaystyle f(x)\) 有最大值 \(\displaystyle f(\frac{25}{4})=\frac{5}{3}\)。



幾何觀點法：

令 \(\displaystyle \angle AOB=\alpha, \angle OAB=\theta\)，則 \(\displaystyle \sin\alpha=\frac{3}{5}\)

　　　　

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2012-5-24 00:23

且在 \(\triangle OAB\) 中，由正弦定理，可得

　　\(\displaystyle \frac{\overline{OB}}{\sin\theta}=\frac{\overline{AB}}{\sin\alpha}\)

　　\(\displaystyle\Rightarrow \frac{x}{l(x)}=\frac{\sin\theta}{\sin\alpha}=\frac{\sin\theta}{\frac{3}{5}}\leq\frac{1}{\frac{3}{5}}=\frac{5}{3}\)

可知當 \(\displaystyle \theta=90^\circ\) 時，\(\displaystyle \frac{x}{l(x)}=\frac{5}{3}\) 為最大值。



註：這題是 2006 年指考數甲的考題

110.8.25補充
以\(O\)表坐標平面的原點，給定一點\(A(4,3)\)，而點\(B(x,0)\)在正\(x\)軸上變動。若\(l(x)\)表\(\overline{AB}\)長，則\(\Delta OAB\)中兩邊比值\(\displaystyle \frac{x}{l(x)}\)的最大值為　　　。(化成最簡分數)
(110蘭陽女中，https://math.pro/db/thread-3538-1-1.html)

填充第 4 題：
一個抽獎活動依排隊順序抽獎，輪到抽獎的人有一次抽獎機會，抽獎方式為丟擲一枚公正銅板，正面為中獎，反面為沒中獎。獎品有四份，活動直到四份獎品都被抽中為止。則在排第六位的人可以抽獎的情況下，排第七位的人可以抽獎的條件機率為　　　。

設 \(A\) 表示第六位可抽獎的事件， \(B\) 表示第七位可抽獎的事件，

則

\(\displaystyle P(A)=P(\mbox{前五位沒人中獎})+P(\mbox{前五位恰一人中獎})+P(\mbox{前五位恰兩人中獎})+P(\mbox{前五位恰三人中獎})\)

　　\(\displaystyle =C^5_0\left(\frac{1}{2}\right)^5+C^5_1\left(\frac{1}{2}\right)^5+C^5_2\left(\frac{1}{2}\right)^5+C^5_3\left(\frac{1}{2}\right)^5\)

　　\(\displaystyle =\frac{26}{32}\)

\(\displaystyle P(A\cap B)=P(\mbox{前五位中不超過兩人中獎，第六位有沒有中獎都可以})+P(\mbox{前五位恰有三人中獎且第六位沒有中獎})\)

　　\(\displaystyle =\left(C^5_0\left(\frac{1}{2}\right)^5+C^5_1\left(\frac{1}{2}\right)^5+C^5_2\left(\frac{1}{2}\right)^5\right)\cdot1+C^5_3\left(\frac{1}{2}\right)^5\cdot\frac{1}{2}\)

　　\(\displaystyle =\frac{21}{32}\)

所求機率＝\(\displaystyle P(B\Big|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{21}{26}.\)

填充第 6 題：
在一個七位數中，若每一出現的數字都至少出現兩次，就稱這種七位數是一個好數。例如：2222222和2223323都是好數，但是2222223和3456777都不是好數。則所有的七位數中，好數有　　　個。

七同 → \(9\) 種

五同兩同 → \(\displaystyle C^9_1C^8_1\cdot\frac{7!}{5!2!}+1\cdot C^9_1\frac{6!}{5!1!}+1\cdot C^9_1\frac{6!}{4!2!} = 1701\)

　　　　　　註：分成「不含零」、「五同為0」、「兩同為0」


三同兩同兩同 → \(\displaystyle  C^9_1C^8_2\frac{7!}{3!2!2!}+1\cdot C^9_2\left(\frac{7!}{3!2!2!}-\frac{6!}{2!2!2!}\right)+1\cdot C^9_1C^8_1\cdot\left(\frac{7!}{3!2!2!}-\frac{6!}{3!2!1!}\right) = 68040\)

　　　　　　註：分成「不含零」、「三同為0」、「兩同為0」


三同四同 → \(\displaystyle  C^9_1C^8_1\cdot\frac{7!}{3!4!}++1\cdot C^9_1\frac{6!}{2!4!}+1\cdot C^9_1\frac{6!}{3!3!}= 2835\)

　　　　　　註：分成「不含零」、「四同為0」、「三同為0」


所求＝\(9+1701+68040+2835=72585\)

計算作圖第 7 題：thepiano 老師解過了 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2816#p7601

空間中，\(x^2+y^2=3^2,z=0\)及\(x-z=0\)所圍成封閉區域的體積為何？

雖然 thepiano 老師已解，小弟幫朋友解完也順便放上來供參考。