「先做出對稱軸」這件事並不無聊，須費一翻功夫

如果拿尺隨便一畫，鐵定得 0 分

因為題目是只給軸上一點，沒有給軸，當然也不知道軸的方向

記得很多年前，參加能力競賽的時候，口試就被問到了這樣的問題

作法為：任作兩條平行線，於拋物線交於兩弦，則其中點連線平行於對稱軸

橢圓和雙曲線的情況，亦有類似之性質

填充 8.
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}[(n+2)(n+4)\ldots(n+2n)]^{\displaystyle \frac{1}{n}}=\)　　　。

這應該是老題目了，直覺就是取 log 黎曼和，作法如下

把 \( n = (n^n)^{\frac1n} \) 放進中括號 \( [..]  \)

取 log 後，黎曼和轉成積分

[]表高斯符號，求\(\displaystyle \left[\frac{1}{\root 3 \of {1^2}+\root 3 \of {1\times 2}+\root 3 \of {2^2}}+
\frac{1}{\root 3 \of {3^2}+\root 3 \of {3\times 4}+\root 3 \of {4^2}}+
\frac{1}{\root 3 \of {5^2}+\root 3 \of {5\times 6}+\root 3 \of {6^2}}+\ldots+
\frac{1}{\root 3 \of {999^2}+\root 3 \of {998\times 999}+\root 3 \of {1000^2}} \right]\)之值。

看錯題目~~抱歉~~等等想想

承您所說，同乘可得

\( \left[ \sum\limits_{n=1}^{999} (\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}) \right] \)

之後相消即得 \( [ \sqrt[3]{1000}-1] = 9 \)
-----------------------------------------------------------------------------------------
上面雖然是錯的，但想法可用，就是把缺項補上

令 \( A=(\sqrt[3]{2}-1)+(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{3})+\ldots+(\sqrt[3]{1000}-\sqrt[3]{999}) \), \( B=\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}+\ldots+\sqrt[3]{999}-\sqrt[3]{998} \)

則 \( A + B = 10-1 =9\)。把根號寫回分數，則 \( A,\, B \) 可逐項比大小有 \( A>B \) 且 \( A-(\sqrt[3]{2}-1)<B \) 可得 \( B<A<B+0.3 \)

所以 \( 2A-0.3<A+B=9<2A \)，得 \( 4.5 < A < 4.65 \)

因此 \( [A] =4 \)

以上，如有錯誤，麻煩指正

已知\(x\)為實數，則\(\sqrt{-x^2+4x+21}-\sqrt{-x^2+10x-24}\)的最大值為　　　。

先配方得 \( \sqrt{25-(x-4)^{2}}-\sqrt{1-(x-5)^{2}} \)

將之看作兩半圓之 \( y \) 坐標相減

而當 \( x=4 \) 時，第一個半圓 \( y \) 坐標有最大值，第二個半圓 \( y \) 坐標有最小值

\( x= 4 \) 代入得最大值 \( \sqrt{21} \)

填充 7.
若\(\displaystyle z_k=cos \frac{k\pi}{12}+i sin\frac{k\pi}{12}\)，其中\(k=0,1,2,\ldots,11\)；若\(\displaystyle \omega=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\)，則\(\displaystyle \sum_{k=0}^{11}|\;z_k-\omega|\;^2=\)　　　。

\( |z|^2 = z \cdot \bar{z} \)

用力的展開，合併項得

所求 \( = 24 - \sum \bar{z_k} \omega - \sum z_k \bar{\omega} = 24  - 2Re \sum z_k \bar \omega \)

而 \( Re \sum z_k \bar \omega = 2 + \sqrt{\frac32} + \frac{3}{\sqrt{2}} +\sqrt{3} \) (硬算) 代入得

\( 20 - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6} -3\sqrt{2} \)

積 ln(1+x) 或 ln(1+2x) 皆可，以下補完算式

注意 \( \frac{1}{n}=(\frac{1}{n^{n}})^{\frac{1}{n}} \)，\( \frac{1}{n}\left[\prod\limits _{k=1}^{n}(n+2k)\right]^{\frac{1}{n}}=\left[\prod\limits _{k=1}^{n}(1+\frac{2k}{n})\right]^{\frac{1}{n}} \)，

取對數，變乘為加，\( \frac{1}{n}\ln\prod\limits _{k=1}^{n}(1+\frac{2k}{n})=\frac{1}{n}\sum\limits _{k=1}^{n}\ln(1+\frac{2k}{n}) \)，

上式為 \( \int_{0}^{1}\ln(1+2x)dx \) 之黎曼和，故其收斂至 \( \int_{0}^{1}\ln(1+2x)dx=\frac{3\ln3}{2}-1 \)。

故所求極限為 \( e^{\frac{3\ln3}{2}-1}=\frac{3\sqrt{3}}{e} \)。