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101板橋高中

回復 2# bugmens 的帖子

第4題
這題我在考試的時候也沒湊出來,後來才想到可以用柯西不等式,沒拿到這10分真是太可惜了!
\( f(x)=\sqrt{(x-1)(9-x)}+\sqrt{(64-x)(x-4)}=\sqrt{x-1} \sqrt{9-x}+\sqrt{64-x} \sqrt{x-4} \)
\(\begin{cases}
& (x-1)(9-x)\geq   0 \\
& (64-x)(x-4)\geq 0
\end{cases} \)
\( \Rightarrow  4 \leq  x\leq 9 \)
所以\(x-1,9-x,64-x,x-4\)皆不小於0
由柯西不等式得
\([(x-1)+(64-x)][(9-x)+(x-4)]\geq (\sqrt{x-1} \sqrt{9-x}+\sqrt{64-x} \sqrt{x-4})^2\)
所以\( \sqrt{x-1} \sqrt{9-x}+\sqrt{64-x} \sqrt{x-4}  \leq  \sqrt{63 \times 5 }=3\sqrt{35} \)
所求之最大值為\(3\sqrt{35}\)
等號成立時,\( \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{9-x}}=\frac{\sqrt{64-x}}{\sqrt{x-4}} \)
\( \Rightarrow  x=\frac{143}{17} \)


[ 本帖最後由 lianger 於 2012-5-20 12:10 PM 編輯 ]

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我後來也是算這個答案。

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