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請教一數列的極限

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(1)

\( a_{n+1} = \sqrt{2+\sqrt{a_n}} \geq 0 \)

知數列 \(  a_n \) 有下界 0


(2)

\( a^2_{n+1} = 2+ \sqrt{a_n} \)

\( a^2_{n+2} = 2+ \sqrt{a_{n+1}} \)


\( a^2_{n+2}  - a^2_{n+1} = \sqrt{a_{n+1}} -\sqrt{a_{n}} \)


\( (a_{n+2}  - a_{n+1})(a_{n+2}  + a_{n+1}) = \frac{a_{n+1} -a_{n}}{\sqrt{a_{n+1}} +\sqrt{a_{n}}} \)


\( \frac{a_{n+2}  - a_{n+1}}{a_{n+1}-a_{n}} > 0  且  a_2 - a_1 > 0 \)

知 數列 遞增


(3)
\( a_1 < 3 \)
設 \( a_k < 3 \)
則 \( a_{k+1} = \sqrt{2+\sqrt{a_k}} < \sqrt{2+\sqrt{3} } < 3 \)
知 數列 有上界 3


(4)

因遞增有上界 故數列收斂


令數列極限值為x


得 \( x=\sqrt{2+\sqrt{x}} \) 整理得 \( x^4 -4 x^2 - x +4 =0  \)



一元四次方程懶得自己解,呼叫Alpha


解得 \( x = \frac{1}{3} ( -1 + \sqrt[3]{ \frac{79}{2} -\frac{3}{2} \sqrt{249} } + \sqrt[3]{ \frac{79}{2} +\frac{3}{2} \sqrt{249} }  ) \approx 1.83118 \)



[ 本帖最後由 cplee8tcfsh 於 2012-5-19 07:40 AM 編輯 ]
三願: 吃得下,睡得著,笑得出來!

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