請參考橢圓老師在美夢成真的回覆

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2803&sid=882f7ccf530d3c0f3e188c918bc486d8#p7514
題外話...原先的檔案小弟不小心手殘...填充 1 打錯數據

感謝橢圓兄和其它網友提醒，已在前天 5.15 修正

填充 6. 請看 100 桃園新進 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1149&page=1#pid3654

填充 3. 法 1. 可以令 \( F(x) = \int_0^x f(t)dt \), 然後可以去掉一個積分，再做變數代換 \( t = F(x),\, dt =f(x)dx \)

法 2. 或是函數、積分區域是對稱的，把它沿著 \( x=y \) 翻過去，兩塊加起再除 2 也可以

\( G(x,y)=f(x)f(y) \)，這個函數相對於 \( x=y \) 是對稱...把三角形翻過去，兩塊加起是正方形
填充 4. 不知道您怎麼做...所以不知道問題有哪

大大二字，在下可擔不起

牛頓法，應該不陌生吧...以前，即便是高三理組，也可能學過

大學的數值分析之類的課，基本上都會教到

至於證明，就是用 Taylor 定理，寫一寫而已，

不對...用 Taylor 定理算是殺雞牛刀，罪過罪過

這個迭代，比較基本 (Elementary) ，直接寫下來算一算就好了

\( a_{n+1}-1=\frac{1}{2}(a_{n}+\frac{1}{a_{n}}-2)=\frac{1}{2}\frac{a_{n}^{2}-2a_{n}+1}{a_{n}}=\frac{1}{2}\frac{(a_{n}-1)^{2}}{a_{n}} \)

所以得 \( a_{n+1} =\frac{1}{2a_n} \cdot (a_n - 1)^2 \)

題外話，如果要的根是重根，或者說 \( f(a)=0 \) 且 \( f'(a) = 0 \) 其中 \( f(x)=0 \) 是欲解之方程式

牛頓法的收斂就會變慢，此時 \( a_{n+1} -1 = O(1-a_n) \), 當然這時候還是有辦法處理，有興趣就去翻數值分析之類的書或 Google 吧

註：其實，上面那些符號，應該掛一下絕對值比較好

有

填充 1. 實際上那兩條不是歪斜線，而是相交於一點，由交點和 P 點即可以對稱比例式

填充 3. 不正當的作法：令 \( f(x) =k \)  常數函數，則得答案為 \( \frac{k^2}{2} \)

以上方法雖然快，但是只能說是取巧而已，遇到其它題目，大概就不行了。

不知道以上，是不是你想要的？

放在抽屜裡有點久的東西
附檔是一些想法和略解

致於詳解...人有點懶，就算了

被習慣的直覺欺騙了，以為末項收至 0，至實際上 \( \frac{1}{a_n} \) 不是收斂到 0，而是收斂到 1。

把有限項算出來是  \( a_1 \cdot (\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_1}) \to 2\cdot(1-\frac12) = 1 \)