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101師大附中(含計算題)

101師大附中(含計算題)

熱騰騰的考題剛出爐,先 po 一下計算證明的部分,其它晚點應該會公佈
101 師大附中計算證明題,除第三題,兩小題各 5 分外,其餘每題 9 分

1. \( a>0 \), \( b>0 \), \( \theta\) 銳角,求 \( \frac{a}{\cos\theta}+\frac{b}{\sin\theta} \) 的最小值。

2. \( \triangle ABC \) 中, \(G\) 為重心。直線 \(L\) 過 \(G\) 與 \(\overline{AB}\) 和 \(\overline{BC}\) 分別交於 \(M\) 和 \(N\)。

\( \overline{BM}=p\overline{BA} \), \( \overline{BN}=q\overline{BC}\),求 \(pq\) 最小值。

3. \( a_{1}=2\), \(a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_{n}+\frac{1}{a_{n}})\), for \(n\geq1\)。

(1) 證明 \( \lim\limits_{n\to\infty}a_{n}\) 存在。

(2) 證明 \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1)\) 收斂。

4. \( A_{n\times n}=[a_{ij}]\), \(B_{n\times n}=[b_{ij}]\),其中 \(b_{ij}=\sum\limits _{k=1}^{n}a_{ik}-a_{ij}\)。\(\det A=a\), 求 \(\det B\) (以 \(a\) 表示)。

5. 求 \( \sum\limits_{n=1}^{10}\left[\frac{x}{n!}\right]=2012\) 的所有正整數解。

6. 求兩小於 1 的正數,其和小於 1,其積小於 \(\frac{2}{9}\) 的機率。

7. \(P(a,b)\) 在 \(x^{2}+y^{2}=5\) 上,求滿足 \(\log_{2}(b-a)-\log_{8}(3b-5a)=0\) 的所有點 \(P\)。

以上,題號序應該沒錯,而敘述也大概接近原本的文字,如有錯誤,還請指正

PS:感謝一起幫忙回憶的夥伴們^^

【註:weiye 於 2012/05/12, 17:10 加上師大附中公佈的參考答案檔案。】

附件

101師大附中,答案.doc (49.5 KB)

2012-5-12 17:07, 下載次數: 16317

101師大附中.zip (26.07 KB)

2012-5-13 17:27, 下載次數: 15021

學校公布的題目(只有填充題)

101師大附中.pdf (362.88 KB)

2012-5-15 14:07, 下載次數: 16960

101.5.15 更新(修正填充1)

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想請教是填充 2 ,上面的計算題,只是趁現在還記得,先寫下來而已。

填充 2:\( \triangle ABC \) 中 \(\overline{AB}=12\), \( \overline{AC}=8 \), \( D \) 在 \( \triangle ABC \) 內部,且 \( \angle ABD =\angle ACD \), \( \angle ADB \) 是直角。 \( M \) 為 \( \overline{BC} \) 中點,求 \( \overline{DM} \)

感覺應該是用外接圓,對同弧,在沒做出來,那時候找了一個特例,不過敲鐘後,發現找的特到 \( D \) 在三角形外面...
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回復 4# shingjay176 的帖子

填充 2
設\(D\)為\(\Delta ABC\)內一點使得\(\angle ACD=\angle ABD\),且\(\angle ADB=90^{\circ}\),\(M\)為\(\overline{BC}\)的中點。已知\(\overline{AB}=12\),\(\overline{AC}=8\),則\(\overline{DM}=\)   
[解答]
自問自答一下
做 \( \triangle ABD \) 的外接圓,其圓心為 \(E\),將此圓對 \(\overline{AD}\) 作對稱。




以\( '\)表示之,則 \(D\) 為 \(\overline{BB'}\) 中點,又 M 為 \(\overline{BC}\) 中點,


而由 \( \angle ABD = \angle ACD \),得 \(C\) 兩圓上,且不在 \(AD\) 劣弧上。再由 \(D\) 是內部點的條件,可知是右邊下方的 \( BD \)弧上
所以 \( \overline{DM}=\frac{1}{2}\overline{B'C}=\frac{1}{2}\sqrt{12^{2}-8^{2}}=2\sqrt{5} \)
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回復 8# Yichen 的帖子

只是記號不同而已

那種寫法也是有人用
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引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-5-12 10:14 PM 發表


精彩! 加一個讚!
最近流行這句嗎?

其實是今天下午睡前想到的...只是很懶,醒來的時候才補上的

來補一下,前因後果好了:考場裡的時候,雖然沒做出來,但也弄了一個 "不合法" 的特殊化

那時候,把 \( C \) 點放在 \( B' \) 的正上方,然後令 \( \overline{BD} = \overline{AC} = 8 \)

\(ABDC\) 變成平行四邊形, \(M\) 是中心, \( \overline{DM} \) 是一半的高,得到一樣的式子

不過以上還沒結束...因為響鈴的時候,才發現 \( D \) 點跑出三角形外了

於是乎,在回程的路上,才仔細思索,想到了從外接圓著手

不過在路上,沒有紙筆畫圖,自然還看不出關係

於是又弄了一個特例,把 \( C \) 點沿著那個弧搬到 \( D \)

不要這個特例更犯規... 移動的過程,都符合題意的條件...但最後合在一起角度不見了

不過那時,姑且假設它是個不變量。所以 \(C\), \(D\) 重合  \( \triangle ADB\) 是直角三角形

\( \overline{DM} =\frac{1}{2} \overline{DB} \),最後當然還是一樣的式子和答案

直到那個正當的做法,做出來後,才消出了怨念,才可以安心地入眠。
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回復 12# dennisal2000 的帖子

個人不喜歡猜來猜去...雖然隱約可以猜中如何操作的。

有時候,其實會覺得這樣問題很奇怪,不過大概見怪不怪了。

學數學(定理)的時候,課本(定理) 總是告訴我們什麼對,在怎樣條件下會有什麼事。

如果要問:「為什麼不對?」那不如問「為什麼覺得對?」或是「那樣做有什麼是對的?」

數學本來就是這樣,對的事,須要理由和證明;不對的事,通常是不需理由的,當然也可以想想錯在哪裡,和反例。

記得某年 (7x) 的大學聯考題,就有這一題,只是 \( a,\, b\) 是給固定的數字 2 和 3

當年讀書的時候,它也被編去某參考書的題目裡...當時沒學過廣義柯西,自然做不出來

只是後來很無聊的,弄了一個柯西加疊合,讓兩個等號同時成立(記憶中,應該是這題)

回到問題,既然不知道您的過程...就來講一個胡說八道的例子,希望有所啟發、幫助

求:\( x \) 是實數, \( f(x) = x^2 +1 \) 的最小值。 大家都知道最小值是 1

\( x^2 \geq 0 \) 這是對的  \( 1 \geq 0 \) 這也是對的

所以 \( f(x) \geq  0+0 = 0 \) 也是對的。

以上都是對的,所以 \( f(x) \) 最小值是 \( 0 \)

如果以上邏輯都是對的,那仿此也可以胡說八道說,最小值是任意負數。

評曰:\( 0=0 \) 是對的,所以如果學生在考卷寫 \( 0=0 \),不能打叉,要在 \( 0 = 0 \) 上面打勾,但是給它 \( 0 \) 分
(改自楊維哲語錄:很快樂的情形,得到 \( 0=0 \),那你的分數就得零分嘛。)

以上,想通看懂後,再回去思考原問題吧
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回復 18# lianger 的帖子

想按個讚~~做得比我漂亮多了

補充兩點小東西

1. 計算的時候,其實可以使用連除法,這樣在計算上,會比較方便,以下表格表示之


21172
3 586
4195
548
69
1

然後將第二行加起來 \( 1172+586+195+48+9+1 = 2011 \)


2. 關於唯一性:相信學長也注意到了,只是忘了說明為什麼而已

也許是太顯然、太簡單了: \( f(x) = \sum\limits_{n=1}^{10} [\frac{x}{n!}] \) 限制在整數上時是嚴格遞增函數

理由是每項都遞增而 \( [x] = x \) (在整數上) 是嚴格遞增,故 \( f(x) \) 限制在整數時是嚴格遞增函數
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回復 21# wayloon 的帖子

沒錯,你是對的

答案是開區間,其中一個端點是一個交點,

區間內,兩個,另一個端點變三個,

至於怎麼畫,就是注意雙曲線漸近線斜率
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回復 24# 老王 的帖子

小弟眼拙,看不出計算 3 \( \leq \frac{1}{2} a_n \) 這個估計有何用處

而  \( a_n \to 1 \)  ,所以...??

小弟是當時做的時候,是去估計 \( a_{n+1}^2 - 1 \) 和 \( a_n^2 - 1 \) 的關係(差幾倍)

計算 5. 真是簡潔有力的秒殺~~讚~!!

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計算 3 (2) 小弟做的估計式是  \( a_{n+1}^2 - 1 \leq \frac{1}{2} (a_n^2 - 1) \)

不過過程醜多了,今天靈感突然來,又有新招 \( \frac{a_n}{a_{n+1}} -1 =\frac{a_n - a_{n+1}}{a_{n+1}} \leq a_n - a_{n+1} \)

右邊的和相消得 \( a_1 -1 =1 \),而左邊每項皆正,故其和收斂。

另外,其是這題的本質應該是牛頓法解 \( x^2 - 1 =0 \)

所以其中 \( a_{n+1} -1 = O((a_n -1 )^2) \) ,收斂超快的
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原來這種分式的遞迴也有一般式可求,今日又受教了...


來去翻一下小黃看看(高中數學競賽教程)
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回復 17# tsusy 的帖子

計算 1. 來回憶一下當年的作法

\( \phi \) 銳角,待定, \( \cos(\theta - \phi) = \cos\theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi \)

由 \( \cos(\theta - \phi) \leq 1  \) 和柯西不等式得

\(\displaystyle  \frac{a}{\cos \theta} +\frac{b}{\sin \theta} \geq \left( \frac{a}{\cos \theta} +\frac{b}{\sin \theta} \right) \cos(\theta -\phi) \geq (\sqrt{a \cos \phi} + \sqrt{b \sin \phi})^2 \)

而當  \(\displaystyle\Large \theta = \phi =\cos^{-1}\sqrt{\frac{a^\frac23}{a^\frac23+b^\frac23}} \) 時,使兩不等號式皆為等號
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