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101師大附中(含計算題)

請問各位大大,填充4當斜率等於正負 \( \frac{\sqrt{10}}{2} \) 時,

我都只畫出一個交點,這是如何算出來的?

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回復 21# wayloon 的帖子

沒錯,你是對的

答案是開區間,其中一個端點是一個交點,

區間內,兩個,另一個端點變三個,

至於怎麼畫,就是注意雙曲線漸近線斜率
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回復 22# tsusy 的帖子

感謝寸絲大大,我看懂了。

眼殘啊~

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計算
3.(2) 我想錯了,待我想想~~這樣吧
\(\displaystyle \frac{a_n}{a_{n+1}}-1=\frac{a_n^2-1}{a_n^2+1}<a_n-1 \)

\(\displaystyle  a_{n+1}-1=\frac{(a_n-1)^2}{2a_n}<\frac{1}{2}(a_n-1) \)

對啊,這收斂真的很快,所以應該很多作法吧~~要不然放大絕,把一般項算出來
\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{\displaystyle 3^{2^n}+1}{\displaystyle 3^{2^n}-1} \)

4.
\(\displaystyle B=A \left [\begin {array} {ccccc}
0 & 1 & 1 & \cdots &1  \\
1 & 0 & 1 & \cdots & 1  \\
1 & 1 & 0 & \cdots & 1 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
1 & 1 & 1 & \cdots & 0 \\
\end {array} \right ]
\)


5.
\(\displaystyle 2012<x+\frac{x}{2}+\frac{x}{6}+\frac{x}{24}+\frac{x}{120}+\frac{x}{720}<2012+6 \)

7.
\(\displaystyle a^2+b^2=5 \)

\(\displaystyle (b-a)^3=3b-5a=\frac{1}{5}(a^2+b^2)(3b-5a) \)



101.1.1版主補充
計算3.
\( a_1=2 \),\( \displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{1}{a_n}) \),for \( n \ge 1 \)。
(1)證明\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \)存在。

附件

101師大附中計算第3題第1小題.zip (1.67 KB)

2013-1-1 06:50, 下載次數: 7394

名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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回復 24# 老王 的帖子

小弟眼拙,看不出計算 3 \( \leq \frac{1}{2} a_n \) 這個估計有何用處

而  \( a_n \to 1 \)  ,所以...??

小弟是當時做的時候,是去估計 \( a_{n+1}^2 - 1 \) 和 \( a_n^2 - 1 \) 的關係(差幾倍)

計算 5. 真是簡潔有力的秒殺~~讚~!!

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計算 3 (2) 小弟做的估計式是  \( a_{n+1}^2 - 1 \leq \frac{1}{2} (a_n^2 - 1) \)

不過過程醜多了,今天靈感突然來,又有新招 \( \frac{a_n}{a_{n+1}} -1 =\frac{a_n - a_{n+1}}{a_{n+1}} \leq a_n - a_{n+1} \)

右邊的和相消得 \( a_1 -1 =1 \),而左邊每項皆正,故其和收斂。

另外,其是這題的本質應該是牛頓法解 \( x^2 - 1 =0 \)

所以其中 \( a_{n+1} -1 = O((a_n -1 )^2) \) ,收斂超快的
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原來這種分式的遞迴也有一般式可求,今日又受教了...


來去翻一下小黃看看(高中數學競賽教程)
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3(2).分享一下當初朋友來問我,想到的一個作法:
由第一小題知\(<a_n>\)為遞減數列且極限存在,又
\[
\Sigma_{n=1}^{\infty}(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)=\Sigma_{n=1}^{\infty}a_n(\frac1{a_{n+1}}-\frac1{a_n})\le \Sigma_{n=1}^{\infty}a_1(\frac1{a_{n+1}}-\frac1{a_n})
=1
\]
不難看出收斂性.其實中間可以省掉估計,由Abel's test 可以立即得到結果

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回復 17# tsusy 的帖子

計算 1. 來回憶一下當年的作法

\( \phi \) 銳角,待定, \( \cos(\theta - \phi) = \cos\theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi \)

由 \( \cos(\theta - \phi) \leq 1  \) 和柯西不等式得

\(\displaystyle  \frac{a}{\cos \theta} +\frac{b}{\sin \theta} \geq \left( \frac{a}{\cos \theta} +\frac{b}{\sin \theta} \right) \cos(\theta -\phi) \geq (\sqrt{a \cos \phi} + \sqrt{b \sin \phi})^2 \)

而當  \(\displaystyle\Large \theta = \phi =\cos^{-1}\sqrt{\frac{a^\frac23}{a^\frac23+b^\frac23}} \) 時,使兩不等號式皆為等號
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請問

請問填充第六題怎麼旋轉?
其實光是敘述就不是太懂@@"

謝謝^^

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回復 28# vicki8210 的帖子

請參考橢圓老師在美夢成真的回覆

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2803&sid=882f7ccf530d3c0f3e188c918bc486d8#p7514
題外話...原先的檔案小弟不小心手殘...填充 1 打錯數據

感謝橢圓兄和其它網友提醒,已在前天 5.15 修正
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想請教填充第3&6題,另外想請教填充第4題為什麼
算不出所附的答案,謝謝

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