答: \( \frac{10}{10+6} = \frac{5}{8} \)

(1)
設 當甲有 n 元時, 最後贏的機率是 P(n)

則 P(0)=0 且  P(16)=1

(2)
\( P(n) = \frac{1}{2} \cdot P(n-1) + \frac{1}{2} \cdot P(n+1) \)

即 P(n+1) - P(n) = P(n) - P(n-1)

此為等差數列

(3)
等差數列 P(0)=0 , P(16)=1 , 得 P(n) = \( \frac {n}{16} \)

得 \( \frac{10}{16} = \frac{5}{8} \)

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現有 n 元 的 的機率 P(n)
分成以下二部分

(1)  下一場出現正面 (機率 1/2) 接下來 共有 n+1 元 (獲勝機率=P(n+1)  )
此部分機率 為  \( \frac{1}{2} \cdot P(n+1) \)

(2)  下一場出現反面 (機率 1/2) 接下來 共有 n-1 元 (獲勝機率=P(n-1)  )
此部分機率 為 \( \frac{1}{2} \cdot P(n-1) \)

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