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101 台中一中

回復 3# Ellipse 的帖子

20 題

用巴貝琪定理,所求即為 \( f(2013) \) (有沒有差負,和它不熟)

給 2011 個值, deg 2010 ,恰好能唯一決定,該多項式,否則就不唯一唯了

橢圓兄是否題目看錯了什麼,Sigma 中有一項有 \( f(2012) \) 是題目沒給的

應該無法直接用軟體驗算
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回復 5# Ellipse 的帖子

補上計算...

\( xf(x)=2x+1\Rightarrow g(x)=xf(x)-(2x+1)=c\prod_{k=1}^{\infty}(x-k)\Rightarrow f(x)=\frac{c\prod_{k=1}^{2011}(x-k)+1}{x}+2 \), for \( x\neq 0\)

又 f 在 0 連續,所以 \( c=\frac{1}{2011!} \)

由差分,或巴貝琪定理,所求即 \( -f(2013)=-\frac{\frac{1}{2011!}2012!+1}{2013}-2=-1-2=-3 \)

有計算錯誤的話,麻煩指正一下

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-4-29 10:21 AM 編輯 ]
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回復 9# shiauy 的帖子

來補一下 17.19 題

17題 考慮一個籌碼的期望值為 \( x \)

則 \( x=\frac{1}{6}(100+x)+\frac{1}{36}(240+2x) \)

解得 \( x =30 \)

所以十個籌碼就是 \( 30 \times 10 = 300 \)

19 題

將未兩位是四的倍數分組,
除以 3 餘 0 的有 0,12,24,36,60 共 5 個;
餘 1 的有 4,16,40,52,64 共 5 個;
餘 2 的 20,32,44,56 共 4 個。

而前三位除以 3 之餘數:可考慮生成函數 \( (2+2x+2x^{2})(3+2x+2x^{2})^{2}=18+42x+74x^{2}+72x^{3}+56x^{4}+24x^{5}+8x^{6} \)。

0, 3, 6 次的係數和為 98,1, 4 次的係數和為 98,2, 5 次的係數和為 98。

所以,所求為 \( 5\times98+5\times98+4\times98=14\times98=1372 \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-3 10:46 PM 編輯 ]
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回復 21# shingjay176 的帖子

其實不用生成函數,也可以做得很漂亮

只是不知道那時候哪根筋不對,就那樣寫

來個正常的方法好了

先看個位和十位,可以找到 14 組是四的倍數,

百位和千位任意填,這時候,不管目前這個四位數是什麼

萬位數必定只有兩種選擇 (1,4) 或 (2,5) 或 (3,6) 使得這個數成為 3 的倍數

生成函數厲害的地方在於結果不是這麼漂亮的時候,也可以做

一次處理,把個位、十位分三組後,要怎樣填才會是 3 的倍數的方法數

也就是三個願望一次滿足

所以如果有興趣,可以改改數字,或加上其它數字,再用兩個方法比較比較
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回復 29# idontnow90 的帖子

12 題,微分法

微分為 0,即 \(\displaystyle \frac{2\sin^{\frac{5}{2}}x-\cos^{\frac{5}{2}}x}{2(\sqrt{\sin x\cos x})^3}=0 \)

\(\displaystyle \Rightarrow2\sin^{\displaystyle\frac{5}{2}}x=\cos^{\displaystyle\frac{5}{2}}x\Rightarrow\tan x=\frac{1}{2^{\displaystyle\frac{2}{5}}} \) (因 \(\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2} \))

\(\displaystyle \Rightarrow \log_2 (\tan x) = -\frac{2}{5} \)

當然應該檢查一下一次微分的在 critical point 左右兩端的正負號,再能保證是最小值
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