是整數係，不過很遺憾的，我漏看的 \( a_n \) 也是奇數的條件

在響鈴後，才看到...天丫 6 分 飛了

還有，計算第一題，題目有點小瑕疪，應該要加上 \( a,b,c,d \in R \)

不然取 \( a = d = \omega \), \( b=c=0\), \( \omega \) 為 \( x^3=1 \) 之虛根

那就會是反例，還有 \( A^3 =I_2 \) ，下標不小心打錯了

我認為那不是誤會，應該說題目的本意就不是(*2)

因為實際上，只要 a,b,c,d 是實數，該命題，便成立

證明的話可以從最小多項式著手，去說明最小多項式不會是 1 次以下

再利用 \( A^3 =I \) 的條件，構造最小多項式。

但由於構造出來是一個二次多項式，

而由 Cayley-Hamilton 定理特徵多項式為 0 多項式，

二者次數階 2，因此特徵即最小多項式，

直接從定義計算 \( A \) 的特徵多項式，再比較係數，即得證。

以上，用了一些大學線性代數的內容，不過應該也算超出範圍

想請教填充 14 15 題，從考完試到現在，還沒解決這兩題

15 題，個人猜測是圓內接四邊形的時候，內切圓有最大面積

但一整個不知道怎麼證，三角硬暴？好像不太實際，像一條不歸路

15.
四邊形\(ABCD\)，\(\overline{AB}=14\)、\(\overline{BC}=9\)、\(\overline{CD}=7\)、\(\overline{DA}=12\)，求四邊形\(ABCD\)的所有內切圓中，面積最大者為　　　。
[解答]
剛剛又重試了一下

令 14, 9 的夾角是 \( \alpha, 7,\,12 \) 的夾角是 \( \beta \)，由對角線長和餘弦得

\( 14^{2}+9^{2}-2\cdot14\cdot9\cos\alpha=12^{2}+7^{2}-2\cdot12\cdot7\cos\beta \)

\( B=14\cdot9\cos\alpha-12\cdot7\cos\beta=\frac{14^{2}+9^{2}-12^{2}-7^{2}}{2} \)

\( A=\frac{1}{2}(14\cdot9\sin\alpha+7\cdot12\sin\beta) \)

\( \frac{(2A)^{2}+B^{2}}{2\cdot7\cdot9\cdot12\cdot14}=\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta + c=-\cos(\alpha+\beta) + c \leq1 +c \)

而 \( r = \frac{2A}{7+9+12+14}\)

等號成立條件為，即 \( \alpha+\beta=\pi \), 此時，四邊形為圓內接四邊形。

\( r \)  有最大值，但是否應該檢驗此時內切圓的存在性呢？

你太客氣，我也只是考場眾生的一員而已。

如你所說，四邊形不唯一，所以可以調整大小，

所以剩下的事，只是說明此時內切圓存在。

注意，題目給的邊是對邊和相等，如果沒這個條件的話，

是不可能剛好切四個邊的 (用頂點到圓兩切線段等長而得)。

而內切圓的存在，但似乎只要凸四邊 + 對邊相等，就會存在切四個邊的內切圓。

想法上，由相鄰兩角做平分線交點找出圓心。

再利用三角不等式、切線段等長、對邊和相等，強迫另兩角的到圓的切線段要連成第四條邊即可。

至於凸，應該是要用到切線邊，是不是切到邊延長的直線。

以上是寸絲的想法，但覺得有點小麻煩，應該有更乾淨俐落的辦法吧?

精采，把它攤了真是太酷了

感謝彬爸和老王兩位老師的公式和精采解題

不如歸去啊，小弟在考場也是一般想法，不如直接放棄這題

原本一直在想，有一兩個等腰的面、有兩個全等的面，有沒有可能翻翻轉轉

透過五鬼挪移大法，有沒有可能拼出一個漂亮的圖形

不過看了這解法，小弟應該不用繼續搬了，哈~~

其實它就是生活裡的找零錢，只是單位不一樣而已

可以想像有 1 元 7 元 42 元 210 元 840 元 2520 元各種幣值

要湊出 2880 元，要求 1 元少於 7 個 ， 7 元少於 6 個， 42 元少於 5 個， 210 元少於 4 個，840 元少於 3 個

weiye 老師是從一元開始把錢愈換愈大

反過來，也可以從先換成最大張，剩下的再逐一用零錢處理，也就是一般的找零錢方法

填充 7
將一列\(n\)(\(n\ge 2\))的小方格中最左邊的黑棋向右移動，每次移動1或2格，直至最右邊的小方格為止。假設由最左移至最右有\(a_n\)種移動方法，每種移動方法的機會均等，「移動次數」的期望值為\(E_n\)，求數對\((a_7,E_7)\)為　　　。
●○○○○○○
[解答]
\( a_n \) 滿足遞迴式 \( a_n+2 =a_{n+1} + a_n \)

而 \( E_n \) 也可以遞迴 \( E_{n+2} = \left( a_{n+1}E_{n+1} + a_n E_n \right) / a_{n+2} +1 \)

可改寫為 \( a_{n+2} E_{n+2} = a_{n+1}E_{n+1} + a_n E_n + a_{n+2} \)

\( \{a_n\} = \{1,1,2,3,5,8,13 \} \), \( a_n E_n = \{ 0,1,3,7,15,30,58 \} \)

而 \(\displaystyle \{E_n\} = \{ 0,1,\frac32, \frac73, \frac{15}5, \frac{30}{8}, \frac{58}{13} \} \)

令 \( \angle B \) 的分角線為  L, A 對 L 的對稱點為 \( A' \), \( \overline{AA'} \) 和 L 的交點為 H

不難發現 \( \triangle ABH \simeq \triangle A'BH \) 或是 \( \triangle ABA' \) 是等腰三角形

故 \( \angle ABH =\angle A'BH \) 因此 \( A' \) 必在射線 BC 上

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=499&page=1#pid658

注意 weiye 老師所回紅字，也就是 \( a_1 + a_2 \) 該式並不成立

因此往回推不能推到底，如果沒有其它錯誤的話

應修正成回推至 \( b_2 \) 或 \( a_2 \) 也就是 \( n=3 \), \( a_3+a_2 = k(k-1)^2 \)

再算出 \( a_2 = k(k-1) \) ，以之代入

即以下

\( \displaystyle b_{n}-\frac{1}{k}(k-1)^{n}=\left[b_{2}-\frac{(k-1)^{2}}{k}\right]\cdot(-1)^{n-2} \)

\( \displaystyle b_{n}=\frac{1}{k}(k-1)^{n}+\left[\frac{k(k-1)}{k}-\frac{(k-1)^{2}}{k}\right](-1)^{n-2} \)

\(  a_{n}=(k-1)^{n}+(-1)^{n}\cdot(k-1) \)