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計算第二題：(模仿100鳳山高中的類題的解法來寫如下~)
第 12 題：
已知 \(a_n, f(0)=a_0, f(1)=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0\) 皆為奇數，
假設 \(f(x)=0\) 有有理根 \(\displaystyle \frac{q}{p}\)，其中 \(p,q\) 為互質的兩個非零整數，
\(\displaystyle f(\frac{q}{p})=0\Rightarrow a_n\left(\frac{q}{p}\right)^n+a_{n-1}\left(\frac{q}{p}\right)^{n-1}+\cdots+a_1\left(\frac{q}{p}\right)+a_0=0\)
\(\Rightarrow a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n=0\)
case i: 若 \(p\) 為偶數，則因為 \(p,q\) 互質，所以 \(q\) 為奇數，
\(a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n \equiv a_n q^n \equiv a_n\cdot 1^n \equiv a_n \pmod2\)
且因為 \(a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n=0\)
\(\Rightarrow a_n\equiv0\pmod2\) 此與 \(a_n\) 為奇數互相矛盾。
case ii: 若 \(q\) 為偶數，則因為 \(p,q\) 互質，所以 \(p\) 為奇數，
\(a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n \equiv a_0 p^n \equiv a_0\cdot 1^n \equiv a_0 \pmod2\)
且因為 \(a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n=0\)
\(\Rightarrow a_0\equiv0\pmod2\) 此與 \(a_1\) 為奇數互相矛盾。
case iii: 若 \(p,q\) 皆為奇數，則
\(a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n \equiv a_n\cdot1^n+a_{n-1}\cdot1^n+\cdots+a_0\cdot1^n\equiv a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0\pmod2\)
且因為 \(a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n=0\)
\(\Rightarrow a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0\equiv0\pmod2\) 此與 \(a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0\) 為奇數互相矛盾。
case iv: 若 \(p,q\) 皆為偶數，此與 \(p,q\) 互質相矛盾。
故，\(f(x)=0\) 無有理根。
