2.

反例：\(\displaystyle f(x)=x^3+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2} x+1\) ，

　　　\(a_3=1, f(1)=3,f(0)=1\) 皆為奇數，

　　　且 \(f(x)=0\) 有有理根 \(x=-1.\)

下方的圖形。固定不動，不能旋轉。有五種顏色，可以重覆塗。但相鄰不能同色。有幾種塗法

圖形2.jpg (31.39 KB)

2012-4-29 10:02

解答：

先塗 A 區域，有 \(5\) 種塗法，

再塗 BCDEFG 區域，有 \(3\cdot(-1)^6+3^6\) 種塗法，
（註：這裡套用：一個圓被半徑分割成n等份用k種顏色來塗,每一區域塗一色,相鄰異色,顏色可以重複,不一定k種顏色全用,求證塗法為(k-1)(-1)^n+(k-1)^n　
　請見：https://math.pro/db/thread-499-1-1.html ）

最後塗 HIJ 區域，有 \(3^3\) 種塗法。


所以，所求為 \(5\cdot\left(3\cdot\left(-1\right)^6+3^6\right)\cdot3^3=98820\)

其實在首篇的ＰＯ文，bugmens 已經幫它加入最新公告的題目與答案了！：Ｐ

poemghost 有講，要討論 DEF這三者～分成三同、兩同一異、三異

其實如果是我實戰的話，應該也不會記住那個公式（擔心記錯），

而會用 \(4\cdot3^5-4\cdot 3^4+4\cdot 3^3-4\cdot 3^2+4\cdot 3\)

：Ｐ

引用:

原帖由 mandy 於 2012-4-30 09:08 PM 發表
請問老師 4x3^5-4x3^4+4x3^3-.....式子如何解釋?

我只是取跟101證明裡面的中間步驟（對我比較好記）。

另外，第15題跟2011AMC12的第24題是一樣的題目。：Ｐ

引用:

原帖由 iamcfg 於 2012-4-30 10:53 PM 發表
填充4
我把它倒過來想
如果b=27  則 a最小為999
a要是999  則本來的數至少要連續111個9
但是題目說他是101位正整數  所以不可能
因此b最大就是18
9+18=27

填充4.
設\(n\)為一個101位數的正整數，且能被9整除。令\(n\)的所有位數之和為\(a\)，\(a\)的所有位數之和為\(b\)，則\(b\)的所有可能值之和為　　　。
[解答]
因為朋友有問，我順便把存在性補上。

n 是 101 位數字

a <= 101*9 = 909

因此 b<= 8+9+9 = 26

因為 n 是 9 的倍數→ a是 9 的倍數→b是9的倍數

且因為 n 是 101 位數字，所以 n>0 → a>0 → b>0，

因此，b 只有可能為 9,18

然後，當 b=18 時，可取 b=1+8+9→取 a=189，

　　　　　　　　　可取 a=90*2+9*1+2*0

　　　　　　　　　→取 n = 寫90個2，再寫9個1，再寫2個0

同理，當 b=9 時，可取 b = 1+8+0 →取 a=180

　　　　　　　　　可取 a=90*2+11*0

　　　　　　　　　→取 n = 寫90個2，再寫11個0

因此，b的所有可能值之和＝9+18=27.

第 9 題：
有一組正整數\( a_2 \)，\( a_3 \)，\( a_4 \)，\( a_5 \)，\( a_6 \)，\( a_7 \)使得\( \displaystyle \frac{4}{7}=\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!} \)，其中\( 0 \le a_i < i \)(\(i=2,3,4,5,6,7\))，求數對\( (a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7)= \)　　　。
[解答]
\(\displaystyle\frac{4}{7} = \frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!}\)

左右同乘 \(7!\)，可得

\(2880=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3a_2+7\cdot6\cdot5\cdot4a_3+7\cdot6\cdot5a_4+7\cdot6a_5+7a_6+a_7\)

因為

\(2880\div 7 = 411 \cdots 3\)

\(411\div 6 = 68 \cdots 3\)

\(68\div 5 =13 \cdots 3\)

\(13\div 4 = 3 \cdots 1\)

\(3\div 3 = 1 \cdots 0\)

\(1\div 2 = 0 \cdots 1\)

所以，\((a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7)=(1,0,1,3,3,3)\)


但是題目說 \(a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7\) 都是正整數，因此送分。

第 14 題
空間中，四面體\(A-BCD\)，\(\overline{AB}=\overline{CD}=6\)，\(\overline{AC}=\overline{AD}=\overline{BC}=5\)，\(\overline{BD}=7\)，求四面體\(A-BCD\)的體積為　　　。
[解答]
另解，僅供參考。

2013-04-12 16.15.36.jpg (979.34 KB)

2013-4-12 16:19

題目有要求 \(0\leq a_2<2\)　　（\(0\leq a_i<i\)），

所以 \(a_2\) 不可能是 \(3\)，只有可能是 \(0\) 或 \(1\)。

不過如你所說，解讀成上一行的「除以3的商數1」也可以啦。

引用:

原帖由 YAG 於 2013-4-12 06:19 PM 發表
為何最後一行要除以 2  而不用 3除以3的商數1 就好了  除以2有何目的
感覺上不是如果最後一行是 7除以3=2....1  最後  a2就是2了嗎?

因為題目出的是真分數，所以 \(a_2\) 真的就 用倒數第二行除以3的商數1 就可以了~

如果把題目改為假分數，那除以 2 就有目的了。

例如：\(\displaystyle\frac{30}{7} = a_1+\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!}\)

　　　其中 \(a_1\in\mathbb{N}\) 且 \(0\leq a_i<i,\) for \(i=2,3,4,5,6,7\)

則解答： \(\displaystyle\frac{30}{7}=\frac{30\times6!}{7!}=\frac{21600}{7!}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle=\frac{7\times3085+5}{7!}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle=\frac{3085}{6!}+\frac{5}{7!}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle=\frac{6\times514+1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle=\frac{514}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle=\frac{5\times102+2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle=\frac{102}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle=\frac{4\times25+2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle=\frac{25}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle=\frac{3\times 8+1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle=\frac{8}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle\frac{2\times4+0}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle=4+\frac{0}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)

所以 \(a_1=4, a_2=0, a_3=1, a_4=2, a_5=2, a_6=1, a_7=5\)