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101台中女中

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回復 2# bugmens 的帖子

關於計算1. 用中央極限的方法來說

個人覺得那樣做,僅有說明之效,而無證明之效

原因是,中央極限定理的陳述是談極限之情況,也就是 converge in distribution

而現在用無限近似有限,問題發生,有多近似?

當然,這點瑕疪,是可以用大學(或研究所)機率課的內容去補起來,但未免麻煩

98 高雄市聯招 https://math.pro/db/thread-797-1-1.html

的證明 1,其實也類似於本題。

本題只要寫開,就會變成高雄市那題的樣子

\(\displaystyle C^{100}_{50}\cdot \frac{1}{2^{100}} = \frac{100!}{(2\cdot4\cdot6\cdots\cdot100)^2}=\frac{1\cdot3\cdot5\cdots99}{2\cdot4\cdot 6\cdots100} \)

令 \( a = \) 上式

則 \(\displaystyle  a^2< \frac{1^2}{2^2-1}\frac{3^2}{4^2-1}\cdots\frac{99^2}{100^2-1}=\frac{1}{101}<\frac{1}{100} \)

開方,得證。

但是這個手法,北一女那題就不能玩了。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-13 03:43 PM 編輯 ]
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一直沒注意到題目公佈了

之前填充 11  一直算不出公佈的答案 580,而算出  579

不知道是否是答案錯誤,嘗試分析如下。

考慮 \( 5m + 12 n = 580 \) 之正整數解,

m8 20 32 44
n 45 40 35 30


  當然後面還有,但後面的光偶數和就超過 2012 了剩下的,來檢驗一下
\( (m,n)=(8,45) \) 這組,45 個最小正奇數的和為 \( \frac{1+89}{2}\cdot 45= 2025 \) 超過 \( 2012 \)

\( (m,n)=(20,40) \), 最小的奇偶數和為 \( 20\cdot 21 + 40^2 =2020 \)

\( (m,n)=(32,35) \), 最小的奇偶數和為 \( 32\cdot 33 + 35^2 =2281 \)

而 \( (m,n)=(44,30) \) 這組,44 個最小正偶數的和為 \( \frac{2+88}{2}\cdot 44 = 44^45 = 1980 \) 再加上 30 個最小正奇數和 \( 900 \)


所以 580 這個數字,根本沒在值域裡,更何況最大值乎?!

而 579,可以找到 \( (m,n)=(15,42) \) 此時,最小奇偶數和為 \( 15\cdot 16 + 42^2= 2004 \)

再將其中一個奇數或偶數,換成大一點的,如把 30 換成  38,這樣和就剛好 2012 了

以上,如有錯誤,麻煩指正,謝謝
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回復 19# cplee8tcfsh 的帖子

第十六題的作法好像有點問題

圖形並不只有三交點。注意 \( 6\pi \sin^2 x \) 在 0 處和 \( \frac{3\pi}{2} \) 的微分

就會知道還有兩個交點,至於圖的真相,還是交 Wolfram Alpha

接近 0 的地方 http://tinyurl.com/7cutks8

接近 \( \frac{3 \pi}{2} \) 的地方 http://tinyurl.com/8yfb9n3

這題要用的其實是對稱性,在 \( x =0 .. \frac{3\pi}{2} \) 的範圍裡

兩個函數圖形的對稱中心,都是 \( (\frac{3 \pi}{4}, 3\pi) \),所以某一段在左邊如果是下,轉 180 度去右邊,上下關係就會反過來

故所求長度即該範圍中直線長度之半: \( \frac{1}{2} \sqrt{17} \cdot \frac{3\pi}{2} =\frac{3\sqrt{17}\pi}{4} \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-9 08:45 PM 編輯 ]
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回復 19# cplee8tcfsh 的帖子

彬爸 12 題的作法真的令人覺得神妙的詭異

而我本來的作法也和瑋岳老師走一樣的路線

不過仔細一做,會發現這題和 101 臺南二中第三題一樣 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1335&page=1#pid5262

只是條件換掉了而已,一個給係數,一個給相乘等於 0,而實際上是一回事

再來補個對角化的作法:計算 \( A \) 的特徵值可得 \( 3,\, 4 \)

因此 \( A \) 對角化後是 \( A' = \left[ \begin{array}{cc} 3 & 0\\
0 & 4 \end{array} \right] \)

所以可以解出 \( P'=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0\\
0 & 0 \end{array}\right] \), \( Q' = \left[\begin{array}{cc} 0 & 0\\
0 & 1 \end{array} \right] \)

而 \( A'^7 =\left[ \begin{array}{cc} 3^7 & 0\\
0 & 4^7 \end{array} \right] = 3^7 P' + 4^7 Q' \)

所以 \( a =3^7,\, b = 4^7 \)

不過這類問題,瑋岳老師的方法應該才是比較一般性的做法

只是好像,在高中裡,有些問題故意特殊化,讓它變得稍微簡單,而往往有特殊的做法
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回復 34# Ellipse 的帖子

印象中,之前也做過一題拋物線,做出來,也發現剛好是焦弦,不過也是巧合

反例,也很簡單,就把那個點沿著焦弦往曲線靠近就好了...焦弦長度不會變,

但那個點離曲線很近時,就有一條很短的弦了

高中裡的數學競賽題目,有時候會就是很喜歡考一些很巧的特殊例子,然後就會有很漂亮的作法

又像 12 題矩陣,又是一個大巧合,一般性的作法是 # 12 瑋岳老師的做法

但在 # 23,中用比較高的數學層次(特值徵)的眼光去看它,就會發現 \( P,\, Q\) 在坐標轉換的結果下

根本就是兩個無聊到漂亮的矩陣,所以對於 # 19 彬爸神一般的作法,就稍微有點不意外了

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-13 03:45 PM 編輯 ]
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回復 36# 八神庵 的帖子

庵大出現了,感謝告知。看來是有人向學校反應,感謝代為反應的人

其實,之前有想寫信過去,不過一來那場考試沒去考,

二來信裡寫數學符號有點麻煩,所以就放棄了

不過其實應該也不是我先發現了

早在 4/23 題目尚未公佈時,有人就曾和小弟討論此題

那時結論是,兩個人都算 579, 對方就覺得答案錯了

不過因為題目尚未公佈,手邊沒有題目,也就沒有深入探討了,不了了之了

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-14 08:19 AM 編輯 ]
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回復 38# shingjay176 的帖子

精確作圖~~~微分

其實小弟做的時候也沒有精確作圖,只是先畫略圖,和彬爸一樣先看出那三個交點

然後就在想,在 \( (0,0) \) 右邊一點點的地方,那個彎的那條,是在直線上,還是直線下

然後就算了微分,發現微分是 \( 0 \) 所以在下方,之後彎上到 \( x=\frac{\pi}{2} \) 最高點間,又多一個交點

接下來往下,下個交點是 \( x=\frac{3\pi}{4} \),之後的討論相同,得到 5 個交點。

不過畫完圖後,還是沒看出竅門。然後再看一下等式,覺得交點解不出來,代數沒希望

再看一次圖,才發現的。以上好像沒有說到什麼重點。

如果真的想精確作圖,那就微分吧...看凹向,再加幾個點

不然像彬爸一樣用 2 倍角,換成 \( \cos \) 處理,應該也可以描幾個點加上本來知道 \( \cos \)  的圖形趨勢作圖
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回復 46# shingjay176 的帖子

破題...小弟可沒這麼厲害...可以直解破解它

來說說當時的想法好了:奇數是乘 12,因此第一個想法是奇數愈多愈好

再仔細一想,就知道當然不可能全部奇數,假設全都奇數,那最大奇數很大,就可以把它拿掉,多換幾個小的偶數

接著想的是,那是奇數多少個是恰恰好呢?

剛才那個把大奇數換小的偶數的想法,這時便派上用場了,如果奇數太大,那就可以換成很多小的偶數

所以奇數和偶數必然要達到一個剛好的比例,使得奇數和偶數的互換比近似於 12:5

還有,同奇偶的數一定選愈小的愈好...這樣子才可能儘可能的多選幾個數字

所以就選出了 2, 4, 6, ....  的連續偶數,和 1,3, 5, 7, ... 的連續奇數

它們的最末項比約為 \( 5:12 \),接著利用等差數列求和公式,其和小於 2012

估計出剛才選出的奇偶數的末項。但剛剛算出來的和是小於 2012,所以其實即使比約 \( 5:12 \),

也有可能發生一個奇數可以換三個偶數的情況,再做做微調,看看是否附近存在更大的值。

以上大概是小弟的原始的想法,但這樣做,也許有些不嚴謹,也不保證找到的是最大值。

因此才有後來發展線性規劃的方法
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