填充第 13 題：

\(\displaystyle\tan\left(\alpha_2-\alpha_1\right)=\frac{\tan\alpha_2-\tan\alpha_1}{1+\tan\alpha_2\tan\alpha_1}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \tan30^\circ=\frac{\tan\alpha_2-\tan\alpha_1}{1+\tan\alpha_2\tan\alpha_1}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \tan\alpha_1\tan\alpha_2=-1+\sqrt{3}\left(\tan\alpha_2-\tan\alpha_1\right)\)

同理可得下列各式

　　\(\displaystyle \tan\alpha_2\tan\alpha_3=-1+\sqrt{3}\left(\tan\alpha_3-\tan\alpha_2\right)\)

　　\(\displaystyle \tan\alpha_3\tan\alpha_4=-1+\sqrt{3}\left(\tan\alpha_4-\tan\alpha_3\right)\)

　　‧‧‧‧‧且

　　\(\displaystyle \tan\alpha_{12}\tan\alpha_1=-1+\sqrt{3}\left(\tan\alpha_1-\tan\alpha_{12}\right)\)

上列各式相加，可得

　　\(\displaystyle\tan\alpha_1\tan\alpha_2 +\tan\alpha_2\tan\alpha_3 + \tan\alpha_3\tan\alpha_4+\cdots +\tan\alpha_{12}\tan\alpha_1 =-12.\)

第 12 題：
設兩矩陣\(P\)、\(Q\)滿足\(\cases{3P+4Q=A \cr P+Q=I_2}\)，其中\(A=\left[\matrix{1&-3 \cr 2&6} \right]\)，\(I_2=\left[\matrix{1&0\cr 0&1}\right]\)，若\(A^7=aP+bQ\)，則\(log_{12}\frac{1}{ab}=\)　　　。
[解答]
彬爸的第 12 題解法好神~讚！

小弟提供一個比較凡人的做法~~

\(det(A-xI)=0\Rightarrow x^2-7x+12=0\Rightarrow (x-3)(x-4)=0\)

令 \(x^7=(x-3)(x-4)q(x)+(mx+n)\)

\(x=3,4\) 帶入上式，可解得 \(m=4^7-3^7, n=4\cdot3^7-3\cdot4^7\)

因此，\(A^7=mA+nI=(4^7-3^7)(3P+4Q)+(4\cdot3^7-3\cdot4^7)(P+Q)=3^7\cdot P+4^7\cdot Q\)

\(\Rightarrow a=3^7, b=4^7\)






今天學校也期中考，小弟也邊監考邊寫這張～哈！

另外，第 6 題，我是令 \(p=\log_3 x, q=\log_3 y\)，

然後再用線性規劃，找 \(1+2p+q\) 最大值與最小值～再處理之。

彬爸(cplee8tcfsh)早已寫出每一題的詳解，含填充第二題，請見前面的討論！