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回復 17# cplee8tcfsh 的帖子

填充第 13 題:

\(\displaystyle\tan\left(\alpha_2-\alpha_1\right)=\frac{\tan\alpha_2-\tan\alpha_1}{1+\tan\alpha_2\tan\alpha_1}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \tan30^\circ=\frac{\tan\alpha_2-\tan\alpha_1}{1+\tan\alpha_2\tan\alpha_1}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \tan\alpha_1\tan\alpha_2=-1+\sqrt{3}\left(\tan\alpha_2-\tan\alpha_1\right)\)

同理可得下列各式

  \(\displaystyle \tan\alpha_2\tan\alpha_3=-1+\sqrt{3}\left(\tan\alpha_3-\tan\alpha_2\right)\)

  \(\displaystyle \tan\alpha_3\tan\alpha_4=-1+\sqrt{3}\left(\tan\alpha_4-\tan\alpha_3\right)\)

  ‧‧‧‧‧且

  \(\displaystyle \tan\alpha_{12}\tan\alpha_1=-1+\sqrt{3}\left(\tan\alpha_1-\tan\alpha_{12}\right)\)

上列各式相加,可得

  \(\displaystyle\tan\alpha_1\tan\alpha_2 +\tan\alpha_2\tan\alpha_3 + \tan\alpha_3\tan\alpha_4+\cdots +\tan\alpha_{12}\tan\alpha_1 =-12.\)

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回復 19# cplee8tcfsh 的帖子

彬爸的第 12 題解法好神~讚!

小弟提供一個比較凡人的做法~~

第 12 題:

\(det(A-xI)=0\Rightarrow x^2-7x+12=0\Rightarrow (x-3)(x-4)=0\)

令 \(x^7=(x-3)(x-4)q(x)+(mx+n)\)

\(x=3,4\) 帶入上式,可解得 \(m=4^7-3^7, n=4\cdot3^7-3\cdot4^7\)

因此,\(A^7=mA+nI=(4^7-3^7)(3P+4Q)+(4\cdot3^7-3\cdot4^7)(P+Q)=3^7\cdot P+4^7\cdot Q\)

\(\Rightarrow a=3^7, b=4^7\)






今天學校也期中考,小弟也邊監考邊寫這張~哈!

另外,第 6 題,我是令 \(p=\log_3 x, q=\log_3 y\),

然後再用線性規劃,找 \(1+2p+q\) 最大值與最小值~再處理之。

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回復 55# 阿光 的帖子

彬爸(cplee8tcfsh)早已寫出每一題的詳解,含填充第二題,請見前面的討論!

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