#3
Lim(n→∞) (1^5+3^5+....+(2n-1)^5)/n^6
=Lim(n→∞) (1/n){ [1/n]^5+[3/n]^5+....+[(2n-1)/n]^5) }
=Lim(n→∞) (1/n){ [1/n]^5+[2/n]^5+[3/n]^5+....+[(2n)/n]^5) } - Lim(n→∞) (1/n){ [2/n]^5+[4/n]^5+....+[(2n)/n]^5) } (要確定收歛才可以這樣拆)
=∫(0 to 2) x^5 dx - (2^5)*∫(0 to 1) x^5 dx
=(1/6) *(2^6-0^6) -(32/6)*(1^6-0^6)
=(1/6)*(64-32)
=16/3
#4
f(x)連續且(積分(x-1)-->x)f(t)dt=x^2 x實數 求f(x)=?
對 ∫((x-1)-->x)f(t)dt=x^2 微分
得f(x)-f(x-1)=2x
可設f(x)=ax^2+bx+c (f(x)只能是多項式形式?有沒有可能是別種函數?)
則f(x)-f(x-1)=ax^2+bx+c -a(x-1)^2-b(x-1)-c=2ax+b-a^2 =2x
比較係數得a=1,b=1,所以f(x)=x^2+x+c代入積分式
解得c=1/6 ,所以f(x)=x^2+x+1/6
#5
1/C(4,3)+1/C(5,3)+.....+1/C(20,3)
=3!/4! +3!*2!/5! +3!*3!/6! +.................+3!*17!/20!
=3![1/(4*3*2)+1/(5*4*3)+1/(6*5*4)+...................+1/(20*19*18)]
=6*(1/2){ [1/(3*2)-1/(4*3)]+[1/(4*3)-1/(5*4)]+[1/(5*4)-1/(6*5)]+.................................+[1/(19*18)-1/(20*19)] }
=3*[1/(3*2)- 1/(20*19)]
=3(1/6-1/380)
=187/380
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