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101中科實中(含計算1)

填充第13題
設有一階梯共有20階,每次只能走2階或3階,第8階階梯壞掉不能踩且必須踩上第12階的上樓方法數=   


這是本來的題目嗎?
我好像眼拙,送他四分了...qq

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回復 11# ichiban 的帖子

遞迴不難做,

但要注意第八項為 0,遞迴關係為 \( a_{n+3} =a_{n+1}+a_n \)

從 1-12 分別為 0,1,1,1,2,2,3,0,5,3,5,8

之後再做 13-20 0,1,1,1,2,2,3,4

其實和  1-12 一樣

所以答案是 \( 8 \times 4 =32 \)

但是我也眼殘,沒看到 20 ,印象中我只算到 12階
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填充:袋中有號碼球120個 ,第i號球有i個, i= 1~15 , 取一球後放回,記錄其號碼與n之差的絕對值,求差的絕對值之期望值最小時的n=?
   (題目大概記的是這樣),

選擇10: (cos10度)^2+(cos50度)^2-(sin40度)(sin80度)=?


請問走樓梯的問題: 為什麼走到12階的方法數會等於走到20階的方法數一樣呢?

已修正題目,謝謝 !!

[ 本帖最後由 mandy 於 2012-4-8 06:57 PM 編輯 ]

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引用:
原帖由 mandy 於 2012-4-8 09:27 AM 發表
填充:袋中有1~120號球,第i號球有i個,取一球後放回,記錄其號碼與n之差的絕對值,求差的絕對值之期望值最小時的n=?
   (題目大概記的是這樣),

選擇10: (cos10度)^2+(cos50度)^2-(sin40度)(sin80度)=?


請問走樓梯的問題: ...
我記得是共有120顆球,第1號到第15號,第i號球有i個,其他同上。

這題我猜中位數,不知道對不對...XD

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引用:
原帖由 mandy 於 2012-4-8 09:27 AM 發表
填充:袋中有1~120號球,第i號球有i個,取一球後放回,記錄其號碼與n之差的絕對值,求差的絕對值之期望值最小時的n=?
   (題目大概記的是這樣),

選擇10: (cos10度)^2+(cos50度)^2-(sin40度)(sin80度)=?


請問走樓梯的問題: ...
選擇第10題
求值:\( cos^2 10^{\circ}+cos^2 50^{\circ}-sin40^{\circ}sin 80^{\circ}= \)?
(A)\( \displaystyle \frac{1}{2} \) (B)\( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \) (C)\( \displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{5} \) (D)\( \displaystyle \frac{3}{4} \) (E)\( \displaystyle \frac{5}{6} \)。
[解答]
\( cos^2 10^{\circ}+cos^2 50^{\circ}-sin40^{\circ}sin 80^{\circ} \)
\( \displaystyle =\frac{cos 20^{\circ}+1}{2}+\frac{cos 100^{\circ}+1}{2}-\frac{1}{2}\left[ cos(40^{\circ}-80^{\circ})-cos(40^{\circ}+80^{\circ}) \right] \)
\( \displaystyle =\frac{cos20^{\circ}+cos100^{\circ}-cos40^{\circ}}{2}+\frac{3}{4} \)
\( \displaystyle =\frac{cos20^{\circ}-(cos80^{\circ}+cos40^{\circ})}{2}+\frac{3}{4} \)
\( \displaystyle =\frac{cos20^{\circ}-2cos60^{\circ} \cdot cos 20^{\circ}}{2}+\frac{3}{4} \)
\( \displaystyle =\frac{cos20^{\circ}-cos20^{\circ}}{2}+\frac{3}{4} \)
\( \displaystyle =\frac{3}{4} \)

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回復 15# Ellipse 的帖子

回程的路上,想到,這題其實可以用立方和加三倍角公式做,如下

\(\displaystyle \cos^{2}10^{\circ}+\cos^{2}50-\cos50^{\circ}\cos10^{\circ}=\frac{\cos^{3}10^{\circ}+\cos^{3}50^{\circ}}{\cos10^{\circ}+\cos50^{\circ}}\)
\(\displaystyle=\frac{1}{4}\cdot\frac{4\cos^{3}10^{\circ}+4\cos^{3}50^{\circ}}{\cos10^{\circ}+\cos50^{\circ}}\)
\(\displaystyle=\frac{1}{4}\frac{4\cos30^{\circ}+4\cos150^{\circ}+3(\cos10^{\circ}+\cos50^{\circ})}{\cos10^{\circ}+\cos50^{\circ}}\)
\(\displaystyle=\frac{3}{4}\)
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回復 3# Ellipse 的帖子

實在厲害...
來補上自己的考試中未竟之功...考試中一直在想特殊化,用特例帶數字,但一直想正三角。

但其實直角三角形才會好算。

特例:令 \( A(0,0), B(2,0), C(0,2), D(1,1), G(t,t)\), \( t \) 待決定,以滿足題目條件。

則邊長比積和可表示為 \(\displaystyle \frac{t}{1-t}+\frac{2-t}{t}+\frac{2-t}{t}=2012\)

整理成 \( \Rightarrow t^{2}+2(2-t)(1-t)=2012(1-t)t\Rightarrow2015t^{2}-2018t+4=0\)。

邊長比的積 \(\displaystyle \frac{(2-t)^{2}}{(1-t)t}=\frac{t^{2}-4t+4}{t-t^{2}}\times\frac{2015}{2015} \)

\(\displaystyle =\frac{2018t-4-8060t+8060}{4-3t}=\frac{-6042t+8056}{-3t+4}=2014 \)。

不過這樣的作法,也只能用在填充題上而已,有沒有更漂亮簡單的特例呢?
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選擇10
以前PO過的作法
\(\displaystyle \cos^2{10^o}+\cos^2{50^o}-\cos{50^o}\cos{10^o} \)
\(\displaystyle =\sin^2{80^o}+\sin^2{40^o}-2\sin{80^o}\sin{40^o}\cos{60^o} \)
\(\displaystyle =\sin^2{60^o} \)

附件

40-60-80.jpg (10.08 KB)

2012-4-8 12:06

40-60-80.jpg

名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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\( (cos10^o)^2+(cos50^o)^2-(sin40^o)(sin80^o)= \)?
(1991中國高中數學聯賽)
[解答]
改計算\( (sin80^o)^2+(sin40^o)^2-(sin40^o)(sin80^o) \)
可以看成半徑為\( \displaystyle \frac{1}{2} \)圓上的三角形ABC
\( ∠A=80^o \),\( ∠B=40^o \),\( ∠C=60^o \)
由正弦定理可知
\( \overline{BC}=sin80^o \),\( \overline{CA}=sin40^o \),\( \overline{AB}=sin60^o \)
由餘弦定理可知
\( \overline{AB}^2=\overline{BC}^2+\overline{CA}^2-2 \times \overline{BC} \times \overline{CA} \times cos60^o \)
\( \displaystyle (sin60^o)^2=(sin80^o)^2+(sin40^o)^2-2 \times sin40^o \times sin80^o \times \frac{1}{2} \)
\( \displaystyle \frac{3}{4}=(sin80^o)^2+(sin40^o)^2-(sin40^o)(sin80^o) \)

晚了一步

附件

1991中國高中數學聯賽.rar (64.2 KB)

2012-4-8 12:46, 下載次數: 8243

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\( \Large{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\Huge{\frac{\frac{2x}{1-x^2}+\frac{3x-x^{3}}{1-3x^2}}{1-\frac{2x}{1-x^2}\frac{3x-x^{3}}{1-3x^2}}}  \)     求x的最大值(x有給定範圍,忘記了sorry)

[ 本帖最後由 t3712 於 2012-4-8 05:33 PM 編輯 ]

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