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2012-3-30 17:41

第 1 小題：

如圖，設 \(\overline{BC}\) 的延長線與 \(\overline{AE}\) 的延長線交於 \(J\)

因為 \(\triangle AED\sim \triangle JEC\)

所以 \(\overline{AE}:\overline{EJ}=\overline{DE}:\overline{EC}=m:(8-m)\)

\(\displaystyle\Rightarrow \overline{AH}:\overline{HE}:\overline{EJ}=\frac{m}{2}:\frac{m}{2}:(8-m)\)

\(\displaystyle\Rightarrow \overline{AH}:\overline{HJ}=\frac{m}{2}:\left(\frac{m}{2}+(8-m)\right)=m:(16-m)\)

且因為 \(\triangle AFH\sim\triangle JKH\)

所以 \(\overline{FH}:\overline{HK}=\overline{AH}:\overline{HJ}=m:(16-m)\)

因此，\(\displaystyle t=\frac{m}{16-m}\)

第二小題：

\(\displaystyle t=\frac{1}{3}=\frac{m}{16-m}\Rightarrow m=4\)

\(\displaystyle\overline{AE}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\Rightarrow \overline{AH}=2\sqrt{5}\)

因為 \(\triangle AHG\sim\triangle EDA\)

所以 \(\overline{AG}:\overline{AH}=\overline{AE}:\overline{DE}=\sqrt{5}:1\)

\(\Rightarrow \overline{AG}=\sqrt{5}\cdot \overline{AH}=10\)

\(\Rightarrow \overline{BG}=10-8=2.\)

因為 \(G\) 為重心，且 \(\overline{DE}//\overline{AB}\)，可知 \(\overline{BD}:\overline{DC}=\overline{AE}:\overline{EC}=1:2\)

因為 \(\overline{DF}//\overline{AC}\)，可知 \(\overline{BF}:\overline{FA}=\overline{BD}:\overline{DC}= 1:2\)

令 \(\overline{AB}=3x\)，則 \(\overline{AF}=2x,\overline{AC}=3\sqrt{2}x, \overline{AE}=\sqrt{2} x\)

因為 \(\displaystyle\frac{\overline{AE}}{\overline{AF}}=\displaystyle\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}\)，且 \(\triangle EAF=\triangle BAC\)，可得 \(\triangle AEF\sim \triangle ABC\)（ＳＡＳ相似），

因此 \(\displaystyle\frac{\overline{EF}}{\overline{BC}}=\displaystyle\frac{\overline{AE}}{\overline{AB}}\) \(\displaystyle \Rightarrow \overline{EF}=\frac{5\sqrt{2}}{3}.\)