感謝Joy091提供題目
11.
給定三個半徑分別為3、4、5的同心圓，考慮所有邊長為s，它的三個頂點分別在這三個圓的圓周上的正三角形。若這些正三角形最大可能的面積可以表示為\( \displaystyle a+\frac{b}{c} \sqrt{d} \)，其中a、b、c、d均為正整數，b與c互質，且d不能被任何質數的平方所整除。試求\( a+b+c+d= \)？
看到這題好熟悉阿，我剛才還花了點時間將這篇找出來
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=31198 (連結已失效)
例題：以座標Ｏ為圓心，分別作半徑為５、４、３的圓
一固定點Ａ座標為（０, ３）
有一動點Ｂ在半徑為４的圓上,有一動點Ｃ在半徑為５的圓上
找到適當的點Ｂ與Ｃ，使得△ＡＢＣ為一正三角形。
是否能藉由尺規作圖找到動點Ｂ與Ｃ？
做法：
(1)作邊長為3的正三角形OAD
(2)以D為圓心，取半徑4作圓，交圓於C1、C2
(3)以AC1、AC2為邊長作正三角形
△AB1C1、△AB2C2即為所求
至於要算大正三角形的邊長可以將\( \overline{AD} \)、\( \overline{C2D} \)連接起來
因為△OAD是正三角形，所以\( ∠ADO=60^o \)
又因為△OC2D為邊長3、4、5的直角三角形，所以\( ∠ODC2=90^o \)
在△ADC2中，\( \overline{AD}=3 \)、\( \overline{C2D}=4 \)，\( ∠ADC2=150^o \)
用餘弦定理可以求得\( \overline{AC2}=\sqrt{25+12 \sqrt{3}} \)
三角形面積為\( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}(25+12 \sqrt{3})=9+\frac{25}{4} \sqrt{3} \)
但看完答案又想到這不就是教甄很愛考的一題
正三角形ABC內有一點P，\( \overline{PA}=3 \)、\( \overline{PB}=4 \)、\( \overline{PC}=5 \)，求正三角形的邊長？
而圖形中的原點到正三角形的三個頂點距離剛好就是3、4、5
而文章中另外一題作落在三條平行線上的正三角形也用到類似的概念
先作小的正三角形再作出大的正三角形，這兩種問題可以一起準備
一個正三角形△ABC的三個頂點分別位於三條平行線上，這三條平行線的距離是3單位和1單位，則△ABC的面積為？
(98士林高商，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=890)
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本帖最後由 bugmens 於 2014-8-30 06:26 AM 編輯 ]
