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2012AIME 試題與簡答

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回復 3# Allen 的帖子

第 7 題:

假設小布走路 \(x\) 公里,阿丹走路 \(y\) 公里,

則小布騎馬 \(n-x\) 公里,阿丹騎馬 \(n-y\) 公里,

\(\Rightarrow (n-x)+(n-y)=n\Rightarrow x+y=n\)

利用小布所花時間=阿丹所花時間(小時)

可得 \(\displaystyle \frac{x}{4}+\frac{n-x}{6}=\frac{y}{2.5}+\frac{n-y}{6}\)

將 \(n=x+y\) 帶入上式,可得 \(\displaystyle \frac{x}{4}+\frac{y}{6}=\frac{y}{2.5}+\frac{x}{6}\)

\(\displaystyle\Rightarrow y=\frac{5}{14}x\)

因為栓馬點與 \(n\) 都是整數,所以 \(n-x,n-y\) 為整數,可得 \(x,y\) 都為整數,

\(\displaystyle\Rightarrow y=\frac{5}{14}x\Rightarrow x:y=14:5\)

令 \(x=14m, y=5m\) 則 \(n=19m\),其中 \(m\) 為自然數,

當 \(m=1\) 時,可得 \(n\) 有正整數最小值為 \(19\),

此時,花費時間\(\displaystyle=\frac{x}{4}+\frac{y}{6}=\frac{13}{3}\)(小時),

所求,\(\displaystyle n+t=13+\frac{13}{3}\cdot60=279.\)

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回復 3# Allen 的帖子

第 8 題:


如上圖,設由內往外各節點位置分別持有硬幣數為 \(a,b,c,d\),則 \(a+5b+5c+5d=3360\)

在最中心位置的同學,經一次交換之後,

自己的 \(a\) 個硬幣全部送出去,流入的硬幣數為 \(\displaystyle 5\cdot \frac{b}{3}\) 個,

因交換前後硬幣數量不變,可列式得 \(\displaystyle a=5\cdot\frac{b}{3}\)

其餘同理可列式得 \(\displaystyle b=\frac{a}{5}+2\cdot\frac{c}{4}, c=2\cdot\frac{b}{3}+2\cdot\frac{d}{4}, d=2\cdot\frac{c}{4}+2\cdot\frac{d}{4}\)

由以上方程式,可解得 \(a=280, b=168,c=d=224.\)

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回復 6# Allen 的帖子

難不難很難說(畢竟有時候某些人突然想到某些特定點~或許就覺得變簡單了~:P)~

小弟也是有空才看看想想~~哈

不然我提供一個還沒想完~不知要怎樣接續完整的最初的想法,

您可以一起想看看怎樣接續下去好了。

第 13 題假設由原點開始共經過 \(a,b,c,d\) 次的第一、二、三、四種跳動,

而後到達 \((x,y)\) 點,可將 \(x,y\) 以 \(a,b,c,d\) 來表示,

然後找看看 \(x,y\) 有沒有必定要滿足何種規律,

而且能否證明滿足該特定規律的點,可以經由有限次的題敘中的跳動而得。

如果可以處理完上面這段,應該就會變得容易了,

這大概就是小弟的初始想法。:P

那到底是蝦咪規律呢?慢慢想囉~

(也有可能~想到最後才發現根本不是這個方向也說不一定~:P)

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回復 9# sweeta 的帖子

題目有寫「第一次相遇」時,

此時即是當 n 有「最小整數值」時。

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回復 11# mandy 的帖子

因為圖形旋轉後,會與原圖形相同~

或是你也可以假設 \(16\) 個變數,然後列出更多的方程式,

也可以知道很多變數位置互換後,方程式沒變。

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