第25題

先看兩個變數 \(x,y\)，

滿足 \(x,y\) 都在 \([0,n]\) 區間，且 \(|x-y|\geq 1\) 的點 \((x,y)\) 所在區域圖形～如附件中上方圖的陰影區域，

此兩個三角形的陰影區域可以拼成一個邊長為 \(n-1\) 的正方形。



再來看空間中，滿足 \(x,y,z\) 都在 \([0,n]\) 區間，且 \(|x-y|\geq 1, |y-z|\geq1, |z-x|\geq1\) 的點 \((x,y,z)\) 所在區域又是在哪裡呢？

先畫一個邊長為 \(n\)，其中一個頂點放在原點、與原點相交的三條稜線緊貼 \(x,y,z\)軸的正立方體，

扣掉 \(x-y=1, x-y=-1\) 兩平面所圍的區域，

再扣掉 \(x-z=1, x-z=-1\) 兩平面所圍的區域，

再扣掉 \(z-y=1, z-y=-1\) 兩平面所圍的區域，

剩下的部分可以拼成一個邊長為 \((n-2)^3\) 的正立方體。

（如附件中的右下方的圖）



因此，在已知 \(x,y,z\) 都在 \([0,n]\) 區間的條件下，

任取三數 \(x,y,z\) 都會滿足 \(|x-y|\geq 1, |y-z|\geq1, |z-x|\geq1\) 的機率為 \(\displaystyle \frac{\left(n-2\right)^3}{n^3}\)



依題意，\(\displaystyle \frac{\left(n-2\right)^3}{n^3}>\frac{1}{2}\Leftrightarrow n^3-12n^2+24-16>0\)

令 \(f(n)=n^3-12n^2+24-16\)，檢查可得 \(f(1)<0,\, \cdots,\, f(7)<0,\, f(8)<0,\, f(9)<0,\, f(10)>0\)

因此，滿足 \(f(n)>0\) 的最小正整數為 \(10\)

哈哈～對耶，打太快都沒注意到自己很多小筆誤～已修正～感謝！：Ｐ