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兩題不等式

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第二題,先做變數代數

令 \( a = \frac{2}{x} \), \( y = \frac{3}{y} \), \( c = \frac{5}{z} \)
則原等式可化成 \( abc(a+b+c)=1 \), a,b,c 亦為正實數

目標式則可以下化簡

\( (a+b+c-c)(a+b+c-b)=(a+b+c)^{2}-(b+c)(a+b+c)+bc=a(a+b+c)+bc \)

再用算幾不等式

\(\displaystyle \frac{a(a+b+c)+bc}{2}\geq\sqrt{abc(a+b+c)}=1\Rightarrow a(a+b+c)+bc \geq 2 \)

再看算幾不等式的等號成立,應該有無限多組解

隨便帶一組出來

\( a = \sqrt{2} -1 \), \( b = c =1 \)。

所以最小值為 2
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