發新話題
打印

2011TRML

推到噗浪
推到臉書

回復 6# kaline 的帖子

個人賽第5題

\(8[x]=3x^2+2\geq 2\Rightarrow [x]\geq \frac{1}{4}\Rightarrow [x]\geq 1\)  
(1) \([x]=1\)時,\(3x^2+2=8 \Rightarrow x=\sqrt{2}\)
(2) \([x]=2\)時,\(3x^2+2=16 \Rightarrow x=\sqrt{\frac{14}{3}}=\frac{\sqrt{42}}{3}\)  
因為最多兩個實根,答案如上
(可以畫出左右兩個圖,更容易理解)
  
團體賽第4題

因為\(2x^2-8x+9=2(x-2)^2+1\),所以\(|2ax-b|<2(x-2)^2+1\)
換句話說,\(y=2(x-2)^2+1\)的圖形恆在折線\(y=|2ax-b|=2a|x-\frac{b}{2a}|\)的上方
且此折線的斜率的絕對值為\(2a\),
因為折線的圖形以對稱軸為中心左右對稱,
當斜率絕對值為最大\( m \)時,必以\( x=2 \)為折線的對稱軸,
所以 \( 2x^2-8x+9>m|x-2| \)

若\(x\geq 2\),則\( 2x^2-8x+9>mx-2m\Rightarrow 2x^2+(-8-m)x+(9+2m)>0\),則判別式<0,得\(m^2<8\Rightarrow m<2\sqrt{2}\)
若\(x<2\),則同理得 \( m<2\sqrt{2}\)
則\( 2a\leq m=2\sqrt{2}\Rightarrow a\leq \sqrt{2}\)
所以 \( a=1\)

此時原式成了 \(2x^2-8x+9>|2x-b|\)
若\(2x\geq b\),則\( 2x^2-8x+9>2x-b\Rightarrow 2x^2-10x+(9+b)>0\),則判別式<0,得\(b>\frac{7}{2}\)
若\(2x< b\),則\( 2x^2-8x+9>-2x+b\Rightarrow 2x^2-6x+(9-b)>0\),則判別式<0,得\(b<\frac{9}{2}\)
則 \(\frac{7}{2}<b<\frac{9}{2}\),所以 \( b=4\)

算了半天,沒有其他正整數解了,所以\( a+b=5\)


團體賽第9題

因為\(a_{n}=a_{1}\),假設3種遞迴各利用了 \(x,y,z\)次,其中\(x+y+z=n\)
則 \(a_{1}=a_{x+y+z}=a_{1}+3xlog2+ylog5-2z=a_{1}+log\frac{2^{3x}\times 5^{y}}{10^{2z}}\)


所以 \(2^{3x}\times 5^{y}=2^{2z}\times 5^{2z} \)
\(\Rightarrow 2z=3x=y\Rightarrow x:y:z=2:6:3\)
因此最小的\(n=x+y+z=11\)
但是\(n>100\),因此最小的\(n=11\times 10=110\)

[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-2 07:45 PM 編輯 ]

TOP

發新話題