1
填充題就直接猜k=1/2就好吧

2
也可以這樣做
考慮\(\displaystyle g(x)=x(x+1)f(x)-1 \)
那麼\(\displaystyle g(x)=0 \)有1,2,3,4四個根
就可以假設\(\displaystyle g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(ax+b) \)
代入0,-1可以求出a,b
就可以求f(5)了

[ 本帖最後由 老王 於 2011-8-28 11:45 AM 編輯 ]

又算了一下，發現一件有趣的事
假設AD=x，三角形ABC面積為A
由餘弦定理\(\displaystyle x^2=1+k^2-k \)
面積(ABD)=kA，(ACD)=(1-k)A
\(\displaystyle r_1=\frac{(ABD)}{\frac{1+k+x}{2}}=\frac{2k}{1+k+x}A \)

\(\displaystyle r_2=\frac{(ACD)}{\frac{1+1-k+x}{2}}=\frac{2(1-k)}{2-k+x}A \)

\(\displaystyle r_1 \times r_2=\frac{4(k-k^2)}{(1+k+x)(2-k+x)}A^2 \)
\(\displaystyle =\frac{4(1-x^2)}{2+k-k^2+3x+x^2}A^2 \)
\(\displaystyle =\frac{4(1+x)(1-x)}{3+3x}A^2 \)
\(\displaystyle =\frac{4(1-x)}{3}A^2 \)

意外地發現只與AD長度有關，所以最大值發生在AD最短的時候。

另外，要求
\(\displaystyle r_1+r_2 \)
\(\displaystyle =\frac{2k(2-k+x)+2(1-k)(1+k+x)}{(1+k+x)(2-k+x)}A \)
\(\displaystyle =\frac{2(2k-k^2+kx+1-k^2+x-kx)}{3+3x}A \)
\(\displaystyle =\frac{2(1+x+2k-2k^2)}{3+3x}A \)
\(\displaystyle =\frac{2(1+x+2-2x^2)}{3+3x}A \)
\(\displaystyle =\frac{2(1+x)(3-2x)}{3+3x}A \)
\(\displaystyle =\frac{6-4x}{3}A \)

這樣就可以解決97年那題

(突然發現，我已經好幾年沒碰北一競試題了)