92南縣國中數學教甄第13題-整數解

已知\(\sqrt {2009}  = \sqrt x  + \sqrt y ,0 < x < y,\)求滿足此式的整數數對(x,y)有幾組?


懇請賜教 謝謝


100.8.24版主補充
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感謝美夢成真論壇someone提供解答
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&t=2658

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-8-24 10:23 AM 編輯 ]

首先,謝謝老師指導,教甄路上有貴人老師真好

一.我誤以為要按照貴網站的分類 如大學數學,高中數學之數與函數 ...
     故在標題上除了註明年度別與縣市別外,誤置入貴網站的分類
     原來,只要按照年度與縣市別的同一份試題即可,下次改進.

二.日後不再使用外部連結,原來有那麼多不適合外部連結的原因,懇請原諒我的無心之過,並即刻起修改成latex語法.

三.另外,再請教老師,我在進入全國教師會選聘網討論區
     卻遇到如下的問題
      ---------------------
      phpBB : Critical Error
     Error creating new session
     DEBUG MODE
     SQL Error : 145 Table './phpbb2/phpbb_sessions' is marked as crashed and should be repaired
    INSERT INTO phpbb_sessions (session_id, session_user_id, session_start, session_time, session_ip,      session_page, session_logged_in,
    session_admin) VALUES ('de9c83cf5191fe7c6a795854292ea260', -1, 1313924757, 1313924757, '722dfd27', 0, 0, 0)  

    Line : 172
    File : sessions.php
---------------------------------------      
    請問老師這要如何解決呢 是我的瀏覽器出了錯嗎 但bugmens老師給的連結中 全教會竟然可以連上 這是什麼原因啊
  
四.明年我考上正式老師, 一定會上來幫助考生.有bugmens老師的鼓勵,明年我一定能如願考上喔!


註:
這一題someone老師有寫,但我程度不夠與不夠細心,竟花四小時以上在想辦法以及搜尋找此題解法.
--------------
\(7\sqrt {41}  = \sqrt x  + \sqrt y ,x < y\) 所以只有三組解(1,6) (2,5) (3,4)
-----------
看了bugmens老師的連結才知原來someone老師的原意是:
\(7\sqrt {41}  = 1\sqrt {41}  + 6\sqrt {41}  = 2\sqrt {41}  + 5\sqrt {41}  = 3\sqrt {41}  + 4\sqrt {41} \)

求 \(cos \frac{\pi }{{2003}} + \cos \frac{{3\pi }}{{2003}} + \cos \frac{{5\pi }}{{2003}} + ... + \cos \frac{{2001\pi }}{{2003}} = ?\)

答:\(\frac{1}{2} \)
解法請益:
我的解法是利用以下的結果來解題,有邏輯繆誤之處嗎

因為
\(\begin{array}{l}
\cos \frac{\pi }{7} + \cos \frac{{3\pi }}{7} + \cos \frac{{5\pi }}{7} = \frac{1}{2} \\
\cos \frac{{2\pi }}{7} + \cos \frac{{4\pi }}{7} + \cos \frac{{6\pi }}{7} = - \frac{1}{2} \\
\cos \frac{\pi }{7} + \cos \frac{{2\pi }}{7} + \cos \frac{{3\pi }}{7} + ... + \cos \frac{{6\pi }}{7} + \cos \frac{{7\pi }}{7} = \frac{1}{2} + ( - \frac{1}{2}) + ( - 1) = - 1 \\
\end{array}\)

所以
\(\begin{array}{l}
  \Rightarrow \cos \frac{\pi }{{2003}} + \cos \frac{{3\pi }}{{2003}} + \cos \frac{{5\pi }}{{2003}} + ... + \cos \frac{{2001\pi }}{{2003}} = \frac{1}{2} \\
  \Rightarrow \cos \frac{{2\pi }}{{2003}} + \cos \frac{{4\pi }}{{2003}} + \cos \frac{{6\pi }}{{2003}} + ... + \cos \frac{{2002\pi }}{{2003}} = - \frac{1}{2} \\
  \Rightarrow \cos \frac{\pi }{{2003}} + \cos \frac{{2\pi }}{{2003}} + \cos \frac{{3\pi }}{{2003}} + ... + \cos \frac{{2002\pi }}{{2003}} + \cos \frac{{2003\pi }}{{2003}} = - 1 \\
\end{array}\)
懇請賜教 謝謝

看到老師的回覆時,震撼好久!
原來,要考高分真的要下苦功.
謝謝您!我要努力,也要加油.
我會常上這個網站來做學問,
若最後問:杯口朝下有幾個?答案是90個
謝謝老師提醒!

以下是我翻高中自修書的整理
來搭配老師的提醒 三角函數的連乘
的確常出現高一各校段考試題中

\(\begin{array}{l}
\cos \frac{\pi }{7}\cos \frac{{3\pi }}{7}\cos \frac{{5\pi }}{7} = - \frac{1}{8} = \cos \frac{\pi }{7}\cos \frac{{2\pi }}{7}\cos \frac{{4\pi }}{7} \\
\cos \frac{{2\pi }}{7}\cos \frac{{4\pi }}{7}\cos \frac{{6\pi }}{7} = \frac{1}{8} \\
\cos \frac{\pi }{7}\cos \frac{{2\pi }}{7}\cos \frac{{3\pi }}{7}..\cos \frac{{6\pi }}{7}\cos \frac{{7\pi }}{7} = \frac{1}{{64}} \\
\end{array}\)
\(\to \cos \frac{\pi }{7}\cos \frac{{2\pi }}{7}\cos \frac{{3\pi }}{7} = \cos \frac{\pi }{7}\cos \frac{{3\pi }}{7}[ - \cos \frac{{5\pi }}{7}] =-(-\frac{1}{8}) = \frac{1}{8}\)

求\(2^{1001}\)的末兩位數字為(A)04 (B)52 (C)76 (D)88





解一：選擇題的估算猜選項方法

\(2^{1001}  - 2 = (2^4 )^{250}  \times 2 - 2 \equiv 0(\bmod 10) \to 2^{1001}  \equiv 2(\bmod 10) \to 2^{1001}  \equiv \{\otimes \}\times 10 + 2(\bmod 100)\to (B)52\)

解二：

\(2^{1001}  = (2^{12} )^{83}  \times 2^5  \equiv ( - 4)^{83}  \times 32 \equiv  - (4^6 )^{13}  \times (4^6 ) \times 8 \equiv  - ( - 4)^{13}  \times ( - 4) \times 8 \equiv  - 4^{14}  \times 8 \equiv  - 4^{15}  \times 2
\)
\(\equiv  - (4^6 )^2  \times 4^3  \times 2 \equiv  - ( - 4)^2  \times 4^3  \times 2 \equiv  - 4^5  \times 2 \equiv  - 48 \equiv 52(\bmod 100)\)


懇請老師指導如何使用二項式定理與費馬小定理解此題 謝謝

第22題
用1、2、3、…、9這九個數字去構造若干個質數，每個數字都要用，且只用一次，共有(A)0 (B)1 (C)2 (D)無線多組解法
答案 (A)

請教此題題目意思為何?
我看不懂題目
1-9都要用上 且能湊出一個數為質數的意思嗎
若是的話,要如何下手?九位數要如何討論較快?
在網路上我想找質數產生器丟入 可是無從下手啊

http://translate.google.com.tw/translate?hl=zh-TW&langpair=en%7Czh-TW&u=http://www.numberempire.com/primenumbers.php
98764321是質數 但沒有5

http://translate.google.com.tw/translate?hl=zh-TW&langpair=en%7Czh-TW&u=http://www.numberempire.com/primenumbers.php
98764321261 但沒有5

有辦法設計 迴圈 來測試嗎?

王老師,謝謝您!把老師的想法寫下來,如下:
\(
2^{1001}  = (2^{10} )^{100}  \times 2 \equiv (24)^{100}  \times 2 \equiv (24)^{99}  \times 24 \times 2 \equiv 24 \times 24 \times 2 \equiv 24^2  \times 2 \equiv 76 \times 2 \equiv ( - 24) \times 2 \equiv  - 48 \equiv 52(\bmod 100)
\)

第25題
若100人共有1000元新台幣，且其中任意10個人的錢不超過190元，那麼一個人最多能有(A)109 (B)90 (C)81 (D)72 元

(sol)以下是網友老師的解答
25. [鴿籠原理]符合題意中，最誇張的狀況就是99 個人都是9 塊錢，剩下那個
就是109 元。

鴿籠原理:若有4個籠子,5隻鴿子,則至少有一個籠子內有2隻鴿子,
請問要套用本題如下
1000隻鴿子,99個籠子,則至少有一個籠子內有11隻鴿子,
這樣對嗎

另外一個想法是
1000-190=810
810/90 =9
若99人每人都有9元,則另一人最多是109元
對嗎


懇請協助 謝謝