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100基隆第一學期第一次

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100基隆第一學期第一次

基隆要二招,這是一招題目,希望對大家有所幫助

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2011-7-20 17:28, 下載次數: 3051

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感謝dxdxs分享題目,我先解決第一題,其他再請各位網友幫忙
\( f(x) \)為一2010次多項式,滿足\( \displaystyle f(k)=\frac{1}{k} \),其中\( k=1,2,3,...,2010 \),求\( f(2012) \)之值?

設\( f(x) \)是一個98次的多項式,使得\( \displaystyle f(k)=\frac{1}{k} \),\( k=1,2,...,99 \)。求\( f(100) \)的值?
(奧數教程 高一 第20講構造函數解題)
101.4.8補充
101中科實中也出了一模一樣的題目
https://math.pro/db/thread-1318-1-1.html

類似題
If \( P(x) \) denotes a polynomial of degree n such that \( \displaystyle P(k)=\frac{k}{k+1} \) for \( k=0,1,2,...,n \), determine \( P(n+1) \).
(USAMO 1975)

\( f(x) \)為三次多項式,且當\( x=1,2,3,4 \)時,\( \displaystyle f(x)=\frac{1}{x(x+1)} \),求\( f(5) \)?
(PTT數學版問題)

101.4.29補充
實係數多項式\( f(x) \),若\( deg f(x)=2010 \),且\( \displaystyle f(k)=\frac{2k+1}{k} \),\( \forall k=1,2,3,...,2011 \),求\( \displaystyle \sum_{k=0}^{2011}\{\; C_k^{2012}\cdot (-1)^k \cdot f(k+1) \}\; \)值。
(101台中一中,https://math.pro/db/thread-1334-1-1.html)

101.5.10補充
多項式\( deg f(x)=2010 \),\( \displaystyle f(x)=\frac{1}{k} \),\( k=1,2,3,...,2011 \),求\( f(2012)= \)
(101高雄中學,https://math.pro/db/thread-1345-1-1.html)

101.10.2補充
設f為一個2010次的多項式,且滿足\( \displaystyle f(k)=\frac{1}{k} \),k=1,2,3,…,2011。試求f(2012)的值。
(100全國高中數學能力競賽 台中區複賽試題(二),https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)

104.12.6補充
設\( p(x) \)為一個八次多項式,若\( \displaystyle p(n)=\frac{1}{n} \),\( n=1,2,3,\ldots,9 \),則下列敘述何者正確?
(1)方程式\( xp(x)-1=0 \)恰有9個整數根 (2)\( p(x) \)的\(x^7\)項係數為\(-45\) (3)\( \displaystyle p(10)=\frac{1}{10} \) (4)\( p(11)=1 \)
(104玉井工商,https://math.pro/db/thread-2270-1-2.html)

105.4.18補充
已知多項式\( f(x) \),且\( deg f(x)=104 \),又當\( k=1,2,\ldots,105\)時,\( \displaystyle f(k)=\frac{2}{k} \),求\( f(106) \)
(105新竹高中,https://math.pro/db/thread-2476-1-1.html)

105.4.30補充
設\(f\)為一個100次的多項式,且滿足\(\displaystyle f(k)=\frac{1}{k}\),\(k=1,2,3,\ldots,101 \)。試求:(1)多項式\(f(x)\) (2)\(f(102)\)之值。
(建中通訊解題第106期)

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奧數教程高一第20講構造函數解題.gif (38.82 KB)

2011-7-20 23:04

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2011-7-20 23:04, 下載次數: 2429

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依照奧數課程解法,g(x)=x f(x)-1,g(x)是2010次多項式,f(x)是2009次多項式,但是題目f(x)是2010次多項式, 可否請教老師該如何解? 謝謝

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1.
可以參考建中沈朋裕老師的這篇文章"高中課程的Lagrange插值多項式"
設\( x_0 \)、\( x_1 \)、...、\( x_n \)是\( n+1 \)個相異數,則對任意的實數\( y_i \) ( \( i=0,1,...n \) )必存在唯一的\( P(x) \in R_n [x] \),使得\( P(x_i)=y_i \) ( \( i=0,1,...,n \) )

所以應該是求2009次的多項式

以下由sweeta314提供解答,特此感謝

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-8-3 11:30 PM 編輯 ]

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高中課程的Lagrange插值多項式.pdf (225.12 KB)

2011-7-31 13:26, 下載次數: 2705

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2011-8-3 23:30

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請教第六題 如此計算有誤嗎?
圖中(1)狀況應為6*6*1*1=36 (抱歉我打錯了)

[ 本帖最後由 peter0210 於 2015-11-22 11:16 AM 編輯 ]

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2015-11-22 11:14

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回復 5# peter0210 的帖子

對,然後會發現 (2)(3) 的分類討論,角、邊、內點,是一樣
所以這題,(1)(2)(3)是可以不用分開,合在一起計算就好了
文不成,武不就

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回復 1# dxdxs 的帖子

請教第7題,感謝。

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回復 7# mathca 的帖子

第 7 題
設\(A(0,0,6)\),\(B(0,0,20)\)為空間中的兩個定點,\(P(x,y,0)\)為一個動點,若\(0 \le x \le 15\),\(0\le y \le 15\),\(∠APB\ge 30^{\circ}\),求\(P\)點之軌跡所成之圖形的面積   
參考 http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &start=10#p6944

109.6.7補充
(109板橋高中也考這題,https://math.pro/db/thread-3343-1-1.html)

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