回復 9# JOE 的帖子
前幾天寫 97 家齊女中的，也寫到這題
看到 JOE 大的方法，還會有速解法
在下很是漸愧。因為在下的方法更慢了一些
\( \left[\begin{array}{c}
x_{n+1}\\
y_{n+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
2 & 3\\
1 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
x_{n}\\
y_{n}\end{array}\right] \)，特徵值 \( 2\pm\sqrt{3} \)。
令 \( x_{n}=a(2+\sqrt{3})^{n}+b(2-\sqrt{3})^{n},\, y_{n}=c(2+\sqrt{3})^{n}+d(2-\sqrt{3})^{n} \)。
利用 \( (x_{0},y_{0})=(1,0),\,(x_{1},y_{1})=(2,1) \)，可解得 \( a=\frac{1}{2},\, c=\frac{1}{2\sqrt{3}} \)。
\( \lim\limits _{n\to\infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{a}{c}=\sqrt{3} \)。
看到 JOE大說，有速解法，有如一語驚醒夢中人，於是有了以下：
設所求極限為 \( a \)，則
\( \frac{2a+3}{a+2}=a\Rightarrow a=\pm\sqrt{3} \) (取正)
