第 4 題：

\(f(x)=(x-m)^2 -m^2+2m+3\)



case i:  若 \(0\leq m\leq 4,\)

　　　　　則 \(f(m)>0 \Rightarrow -m^2+2m+3>0 \Rightarrow -1<m<3\)

　　　　　且因為 \(0\leq m\leq 4\)，所以 \(0\leq m<3\)


case ii: 若 \(m<0,\)

　　　　　則 \(\displaystyle f(0)>0 \Rightarrow 2m+3>0 \Rightarrow m>-\frac{3}{2}\)

　　　　　且因為 \(m<0\)，所以 \(\displaystyle -\frac{3}{2}<m<0\)

case iii: 若 \(m>4,\)

　　　　　則 \(\displaystyle f(4)>0 \Rightarrow -6m+19>0\Rightarrow m<\frac{19}{6}\)

　　　　　且因為 \(m<4\)，所以 矛盾

由 case i,ii, 或 iii，

可得 \(\displaystyle -\frac{3}{2}<m<3\)

第 15 題：

\(\displaystyle x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}\)

因此，

　　\(\displaystyle x-y= \frac{1}{z} - \frac{1}{y} = \frac{y-z}{yz}\)

　　且 \(\displaystyle y-z= \frac{1}{x} - \frac{1}{z} = \frac{z-x}{zx}\)

　　且 \(\displaystyle z-x= \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{x-y}{xy}\)

所以，

\(\displaystyle x-y = \frac{x-y}{x^2y^2z^2}\Rightarrow \left(x-y\right)\left(1-\frac{1}{x^2y^2z^2}\right)=0\)

因為 \(x,y\) 相異，所以 \(x^2y^2z^2=1\)

因為 \(x,y,z\) 皆為正數，所以 \(xyz=1\)

故， \(\log x + \log y + \log z = \log(xyz)=0\)