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回復 7# pizza 的帖子

填充第 8 題

將 \(O\) 對稱 \(E_1: x+2y+2z-18=0\),可得對稱點 \(P(4,8,8)\)

將 \(C\) 對稱 \(E_2:2x+y+2z+10=0\),可得對稱點 \(Q(-5,-3,-3)\)

則 \(\overline{OA}+\overline{AB}+\overline{BC}\)

  \(=\overline{PA}+\overline{AB}+\overline{BQ}\)

  \(=\overline{PQ}=\sqrt{323}\)

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想請問填充9

我的立體概念不好  完全無思緒  可否給點指教 謝謝

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回復 12# WAYNE10000 的帖子

填充第 9 題,

把 \(R\) 當原點,\(\overrightarrow{RQ}\) 射線當正向 \(x\) 軸,\(\overrightarrow{RP}\) 射線當正向 \(y\) 軸,\(\overrightarrow{RA}\) 射線當正向 \(z\) 軸,

則 \(\triangle APQ\) 所在平面方程式為 \(\displaystyle \frac{x}{\frac{1}{2}}+\frac{y}{\frac{1}{2}}+\frac{z}{1}=1\Rightarrow 2x+2y+z-1=0\)

原點 \(R\) 到 \(\triangle APQ\) 所在平面的距離=\(\displaystyle \frac{|0+0+0-1|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{1}{3}\)



另解:(沒有比較快XD)

\(\triangle APQ\) 面積=正方形 \(ABCD\) 面積-\(\triangle ABP\) 面積-\(\triangle ADQ\) 面積-\(\triangle CPQ\) 面積

      =\(\displaystyle\frac{3}{8}\)

因為錐形體 \(APQR\) 的體積=\(\displaystyle\frac{1}{3}\times \triangle RPQ\mbox{面積}\times \overline{RA}=\frac{1}{3}\times\triangle APQ\mbox{面積}\times \left(R\mbox{到}\triangle APQ\mbox{的距離}\right)\)

所以 \(\displaystyle\frac{1}{3}\times \frac{1}{8}\times 1 =\frac{1}{3}\times \frac{3}{8}\times \left(R\mbox{到}\triangle APQ\mbox{的距離}\right)\)

   \(\displaystyle\Rightarrow R\mbox{到}\triangle APQ\mbox{的距離}=\frac{1}{3}\)




其實還可以再來個另解~(更慢一點~但是只要會畢氏定理就可以了)

設 \(\overline{PQ}\) 的中點為 \(M\),

就是拿菜刀往錐形體 \(APQR\)~延 \(\triangle ARM\) 剖下去,

利用畢氏定理算出各邊長之後,再來就可以算出直角\(\triangle ARM\) 斜邊上的高~即為所求。:)

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填充6
因為 \( |z|=1 \),所以
\(\displaystyle  \frac{1}{z}=\overline{z} \)

\(\displaystyle |z+\frac{2}{z}+1|^2=|z+2\overline{z}+1|^2 \)

\(\displaystyle =(z+2\overline{z}+1)(\overline{z}+2z+1) \)

\(\displaystyle =2(z^2+\overline{z}^2)+3(z+\overline{z})+6 \)

\(\displaystyle =2(z+\overline{z})^2+3(z+\overline{z})+2 \)

\(\displaystyle =8Re(z)^2+6Re(z)+2 \)

\(\displaystyle =8(Re(z)+\frac{9}{64})^2+\frac{7}{8} \)

因為 \( -1<Re(z)<1 \)
所以當\( Re(z)=1 \)時有最大值16
於是所求為4

另外,11題我一直沒想通,請教想法,感謝!!

[ 本帖最後由 老王 於 2012-2-2 04:24 PM 編輯 ]
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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填充第 11 題,

就先來塗紅色吧~

紅色有 \(16\) 格可以選~

任選一格之後~與紅色那格同行或同列的其他格就不能塗了~

刪掉紅色那格所在的行與列,剩下空格集中靠攏,

再來塗黃色,還有 \(9\) 格可以選~

任選一格之後~與黃色那格同行或同列的其他格就不能塗了~

刪掉黃色那格所在的行與列,剩下空格集中靠攏,

再來塗藍色,還有 \(4\) 格可以選~

任選一格塗藍色之後~與藍色那格同行或同列的其他格就不能塗了~

刪掉藍色那格所在的行與列,

剩下只有一個空格可以選而已~當然就只能塗綠色啦。

因此,塗色的方法數為 \(16\times 9\times 4\times 1=576\)

附件

qq.png (24.13 KB)

2012-2-2 16:47

qq.png

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感謝瑋岳老師!!原來我把題目看錯了
以為是用四種顏色各塗四個方格
每個顏色都不能同行同列
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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回復 16# 老王 的帖子

我剛剛試著用老王老師的新規則~

「用四種顏色各塗四個方格、每個顏色都不能同行同列」
討論到最後也是 \(576\) 耶!

就第一行、第二行、第三行、第四行地慢慢討論所有可能性~

\(4!\times(3\cdot 1\cdot 1\cdot 1)\times(2!\cdot 2!)\times(1^4)+4!\times(3\cdot 2\cdot 1\cdot 1)\times(2\cdot 1\cdot1\cdot1)\times(1^4)=576\)

第一大類是~第一行與第二行~剛好某兩顏色互換~另兩顏色也互換~

第二大類是~第一行與第二行沒有任何顏色互換~

剩下第三行與第四行就用慢慢討論的~其實只有很少種可能性。

這些討論不是重點,重點在~答案與原題目相同耶~



也就是原題目只把四格塗四色結束之後~

如過要繼續把剩下的 \(12\) 格的顏色~用老王老師的新規則塗上去~

或許只有唯一的一種塗法(此點有待證明,純屬隨便亂猜測~:P)~或是必定無法繼續塗下去?!

或是說~猜測這兩者(新、舊規則的每一種塗法)可能有某種唯一的對應關係!

神奇耶!(小弟原本還以為兩者會相差四倍~:P)

<<為避免小弟計算的過程可能有算錯~待會寫詳細一點加張圖,請大家來幫我檢查一下~:P>>

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回復 17# weiye 的帖子

「用四種顏色各塗四個方格、每個顏色都不能同行同列」

上篇回覆中,討論的圖解,寫在附加檔案,如果有錯誤煩請不吝告知,感謝。

^____^



另外,小弟繼續思考,還發現~

如果以最容易填完的一種情況情況出發~將任兩行互換~或任兩列互換~

也都會是符合題目要求的情況~

因此~將 任數行位置互換~或任數列位置互換,延伸出來的都是滿足"新規則"的塗法。

   將 任數行位置互換~或任數列位置互換,延伸出來的都是滿足"舊規則"的塗法。

而將原本的第一二三四列換到新的一二三四列~總共有 \(4!\) 種方法,

 將原本的第一二三四行換到新的一二三四行~總共有 \(4!\) 種方法,

所以換完之後的情形種共有 \(4!\times4!=576\) 種。

但是~~~~~如何證明就只有這麼多,而不會有「更多」種呢?

或是說~如何證明全部的塗色方法,都可以經由任意數行互換~再任意數列互換,

而變成最基本的上面哪兩張(對應到新、舊規則)的方法呢?

十分有趣!:P

附件

Book2.xls (80 KB)

2012-2-3 08:58, 下載次數: 2143

Book2.pdf (226.68 KB)

2012-2-3 08:58, 下載次數: 2226

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94年第二區筆試二第六題,沒有答案。(因為參考答案給了個奇怪的東西)可以對照一下。

附件

94北二區筆試2-6.jpg (35.03 KB)

2012-3-10 10:10

94北二區筆試2-6.jpg

名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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把題目寫出來讓以後的網友也能google到這篇
有一遊戲規則如右:在右圖中每一直行、每一橫列即每個小四方格裡,只有1到4的數字,每個數字在每個行列及每個小四方格裡都只出現一次,滿足這些條件的填法稱為一種解法。考慮方格不可旋轉或翻轉,則共有幾種解法。


這是2x2的數獨,wiki答案是288
http://en.wikipedia.org/wiki/Mat ... rectangular_regions

解法可以參考看這篇
http://forum.enjoysudoku.com/sud ... are-t170.html#p2992
by geoff

A neat way of counting.
Consider grids of the type

AB | xx
Cx | xx
--------
xx | Dx
xx | x E

where A,B,C are different, D and E are different. There are 288 of these and each gives a unique solution. Therefore 288 solutions.

A、B、C三個數字要完全不同有4*3*2=24種
D、E兩個數字要完全不同有4*3=12種
A~E數字決定後剩下的空位是唯一決定的
共有24*12=288種

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