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100香山高中

回復 9# milkie1013 的帖子

計算題1.
如下圖, \(O\)為正方形\(ABCD\)的中心。程式設定讓機器跳蚤在圖中諸點之間跳動﹐每次都可以跳到相鄰的任何一點﹐例如:由\(A\)點可跳到\(O\)﹑\(B\)﹑\(D\)中的任何一點﹐由\(O\) 點可跳到\(A\)﹑\(B\)﹑\(C\)﹑\(D\)中的任何一點。設從\(O\)點開始﹐經\(n\)次跳動返回 \(O\)點的路線有 \(\displaystyle a_n \)種﹐而經\(n\)次跳動到達\(A\) 點的路線有 \(\displaystyle b_n \)種 ,試求 \(\displaystyle a_6+b_6\)  。      答: 320+256=576種
A-----------------D
|                        |
|          O           |
|                        |
B-----------------C                                                                             
參考解法: 考慮經 n 次跳動,落在角落(A,B,C,D)的方法數 \(\displaystyle k_n \)                     

首先, \(\displaystyle k_1=4, k_2=4*2=8 \)
\(\displaystyle k_3=2k_2+4k_1=32 \)

這是因為第 3 次跳到角落的方法數 \(\displaystyle k_3 \)有 2 個來源 :
1. 第 2 次就在角落,又跳到角落,有 \(\displaystyle 2k_2 \)種
2. 第 2 次在中心(即 O 點),再跳到角落,有 \(\displaystyle k_1*1*4=4k_1 \) 種,
其中 \(\displaystyle k_1*1 \) 表示第 2 次在中心的方法數,由第 1 次在角落的方法數乘以1而來 !

因此, \(\displaystyle k_n=2k_{n-1}+4k_{n-2},n=3,4,5,6,... \)
而且滿足 \(\displaystyle \frac{k_n}{4}=b_n \) (4個角落為對稱情形), \(\displaystyle k_{n-1}=a_n \)

因為 \(\displaystyle <k_n>=4,8,32,96,320,1024,... \)
故 \(\displaystyle a_6+b_6=k_5+\frac{k_6}{4}=320+\frac{1024}{4}=320+256=576 \)

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回復 20# 阿光 的帖子

填充7.
\(\displaystyle a,b\in R \) ,若 \(\displaystyle ax+by=1 \) 與 \(\displaystyle x^2+y^2=50 \) 僅有整數解,求數對 \(\displaystyle (a,b) \) 有多少組?

答: \(\displaystyle 72=C^{12}_1+C^{12}_2-6 \)


首先,這個圓通過 \(\displaystyle (\pm1,\pm7),(\pm5,\pm5),(\pm7,\pm1) \) 共 4+4+4=12 個格子點

所以數對 \(\displaystyle (a,b) \) 必須使直線  \(\displaystyle ax+by=1 \) 經過這些點中的 1個 或 2個  (分別是圓的 切線 與 割線)

但是要小心直線  \(\displaystyle ax+by=1 \) 不經過原點!

所以數對 \(\displaystyle (a,b) \) 有  \(\displaystyle C^{12}_1+C^{12}_2-6=72 \) 組。

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